Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 So 02.11.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die untenstehenden Folgen auf Konvergenz für [mm] k\to\infty [/mm] und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert
1. [mm] \vec{a}_{k}=(\bruch{ln (k)}{k^{2}}, \bruch{sin(k)}{2^{k}})
[/mm]
2. [mm] \vec{b}_{k}=(\bruch{cos(k)}{\wurzel{k}}, \bruch{(k^{3}-1)(-1)^{k}}{k^{3}+1}, e^{\bruch{1}{k}}) [/mm] |
Hallo zusammen,
Zu 1.:
Ich untersuche bei den Aufgaben Komponentenweise. Ich nehme bei 1. [mm] \bruch{ln (k)}{k^{2}} [/mm] und schaue mir an ob die Folge konvergiert oder divergiert. Hier ist [mm] \bruch{ln (k)}{k^{2}} [/mm] divergent wenn ich mich nicht täusche.
Weiterhin ist [mm] \bruch{sin(k)}{2^{k}} [/mm] konvergent, da sin(k) zwischen -1 und 1 springt, aber [mm] 2^{k} [/mm] Richtung [mm] \infty [/mm] geht. Es nähert sich also der 0 an. Der Grenzwert ist 0.
Da nun also Komponente 1 divergent ist und Komponente 2 konvergent, ist [mm] \vec{a}_{k} [/mm] divergent da eine Komponente divergent ist.
Ich hoffe ich habe das soweit dazu alles richtig.
Zu 2.:
Auch hier das gleiche wie bei 1., ich schaue mir also alle Komponenten an.
Für [mm] \bruch{cos(k)}{\wurzel{k}} [/mm] ist der Grenzwert 0, die Folge konvergiert also.
Für [mm] e^{\bruch{1}{k}} [/mm] ist der Grenzwert 1, die Folge konvergiert also ebenfalls.
Bei [mm] \bruch{(k^{3}-1)(-1)^{k}}{k^{3}+1} [/mm] bin ich mir nun aber nicht sicher. Durch das [mm] (-1)^{k} [/mm] springt das Ergebnis zwischen einem negativen und einem positiven Wert hin und her. Würde [mm] (-1)^{k} [/mm] wegfallen, wäre der Grenzwert 1. So sprigt der Grenzwert aber zwischen -1 und 1 hin und her. Für mich also unbestimmt divergent.
Ich ziehe den Schluss daraus, dass diese Folge unbestimmt divergiert. Liege ich da richtig?
Viele Grüße,
Tristan
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Hallo Tristan,
> Untersuchen Sie die untenstehenden Folgen auf Konvergenz
> für [mm]k\to\infty[/mm] und bestimmen Sie gegebenenfalls den
> Grenzwert
>
> 1. [mm]\vec{a}_{k}=(\bruch{ln (k)}{k^{2}}, \bruch{sin(k)}{2^{k}})[/mm]
>
> 2. [mm]\vec{b}_{k}=(\bruch{cos(k)}{\wurzel{k}}, \bruch{(k^{3}-1)(-1)^{k}}{k^{3}+1}, e^{\bruch{1}{k}})[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> Zu 1.:
>
> Ich untersuche bei den Aufgaben Komponentenweise.
Das ist schonmal richtig.
> Ich nehme
> bei 1. [mm]\bruch{ln (k)}{k^{2}}[/mm] und schaue mir an ob die Folge
> konvergiert oder divergiert. Hier ist [mm]\bruch{ln (k)}{k^{2}}[/mm]
> divergent wenn ich mich nicht täusche.
Du täuschst Dich.
> Weiterhin ist [mm]\bruch{sin(k)}{2^{k}}[/mm] konvergent, da sin(k)
> zwischen -1 und 1 springt, aber [mm]2^{k}[/mm] Richtung [mm]\infty[/mm] geht.
> Es nähert sich also der 0 an. Der Grenzwert ist 0.
Korrekt.
> Da nun also Komponente 1 divergent ist und Komponente 2
> konvergent, ist [mm]\vec{a}_{k}[/mm] divergent da eine Komponente
> divergent ist.
>
> Ich hoffe ich habe das soweit dazu alles richtig.
Na, schau Dir nochmal die erste Komponente an.
> Zu 2.:
>
> Auch hier das gleiche wie bei 1., ich schaue mir also alle
> Komponenten an.
>
> Für [mm]\bruch{cos(k)}{\wurzel{k}}[/mm] ist der Grenzwert 0, die
> Folge konvergiert also.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für [mm]e^{\bruch{1}{k}}[/mm] ist der Grenzwert 1, die Folge
> konvergiert also ebenfalls.
> Bei [mm]\bruch{(k^{3}-1)(-1)^{k}}{k^{3}+1}[/mm] bin ich mir nun aber
> nicht sicher. Durch das [mm](-1)^{k}[/mm] springt das Ergebnis
> zwischen einem negativen und einem positiven Wert hin und
> her. Würde [mm](-1)^{k}[/mm] wegfallen, wäre der Grenzwert 1. So
> sprigt der Grenzwert aber zwischen -1 und 1 hin und her.
> Für mich also unbestimmt divergent.
> Ich ziehe den Schluss daraus, dass diese Folge unbestimmt
> divergiert. Liege ich da richtig?
Ja. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Grüße
reverend
> Viele Grüße,
>
> Tristan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 So 02.11.2014 | | Autor: | fuoor |
Also ist Komponente 1 bei [mm] \vec{a}_{k} [/mm] mit [mm] \bruch{ln (k)}{k^{2}} [/mm] konvergent. ln(k) geht gegen unendlich, [mm] k^2 [/mm] auch. Jedoch geht [mm] k^2 [/mm] "schneller" nach unendlich. Damit sollte dann der Grenzwert 0 sein und die Folge damit konvergent. So richtig?
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Hallo nochmal,
> Also ist Komponente 1 bei [mm]\vec{a}_{k}[/mm] mit [mm]\bruch{ln (k)}{k^{2}}[/mm]
> konvergent. ln(k) geht gegen unendlich, [mm]k^2[/mm] auch. Jedoch
> geht [mm]k^2[/mm] "schneller" nach unendlich. Damit sollte dann der
> Grenzwert 0 sein und die Folge damit konvergent. So
> richtig?
Im Prinzip ja. Kannst Du es auch zeigen?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 So 02.11.2014 | | Autor: | fuoor |
Ich versuche es gerade ... beisse mir aber noch die Zähne aus :).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 So 02.11.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo,
> Ich versuche es gerade ... beisse mir aber noch die Zähne
> aus :).
Na, dann mal zwei Tipps:
1) l'Hospital
2) Reihenentwicklung des Logarithmus
Das zweite darfst (oder kannst) Du wahrscheinlich noch nicht nehmen, aber den Satz von (de) l'Hospital wohl schon, oder?
Grüße
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 So 02.11.2014 | | Autor: | fuoor |
Ja, mit l´Hospital gehts dann recht einfach.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(n)}{g(n)}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f^{1}(n)}{g^{1}(n)}
[/mm]
Bedeutet fürmein Problem
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ln(n)}{n^2}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{x}}{2x}=\bruch{0}{2}=0
[/mm]
[mm] (f^{1}=1. [/mm] Ableitung ... finde den Strich nicht :) )
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