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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz (Richtig so?)
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Konvergenz (Richtig so?): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Mi 30.04.2008
Autor: abi2007LK

Hallo,

folgende Aufgabe:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Okay - also Folgen, die Vektoren "liefern" konvergieren ja genau dann, falls alle "Komponenten" des Vektors konvergieren. Richtig? Bedeutet ich muss jede einzelne Folge auf Konvergenz prüfen und falls alle Konvergieren konvergiert die "Vektorfolge".

Zu (a):

[mm] a_{k1} [/mm] = [mm] \frac{2+k^2}{1+2k^2} \to [/mm] 1 (k [mm] \to \infty) [/mm] - einfach durch [mm] k^2 [/mm] teilen und dann sieht man es.

[mm] a_{k2} [/mm] = [mm] \frac{ln(k)}{\wurzel{k}} [/mm] - wie ich bei dieser Folge die Konvergenz überprüfen soll ist mir unklar. Ich denke mal, dass die Folge gegen 0 geht, da [mm] \wurzel{k} [/mm] gegen unendlich geht.

[mm] a_{k3} [/mm] = [mm] \frac{\wurzel{1+k}}{2k} [/mm]
Bei dieser Folge habe ich versucht die nach unten und oben abzuschätzen:

[mm] \frac{1}{2k} \le \frac{\wurzel{1+k}}{2k} \le [/mm] ???

Mir fehlt da die letzte Abschätzung. :(

zu (b):
[mm] b_{k1} [/mm] = [mm] \frac{(-1)^k}{k} [/mm]
Bei dieser Folge haben die zwei Teilfolgen (gerade k und ungerade k) beide den gleichen Grenzwert - nämlich 0. Daraus folgt, dass dann die Folge gegen 0 geht. Stimmt doch - oder?

[mm] b_{k2} [/mm] = [mm] ln(1+k^{-\frac{1}{3}}) [/mm] = [mm] ln(1+\frac{1}{k^{\frac{1}{3}}}) [/mm]
Dann habe ich argumentiert, dass [mm] \frac{1}{k^{\frac{1}{3}}} [/mm] gegen 0 geht und ln(1) = 0 ist. Richtig so?

[mm] b_{k3} [/mm] = [mm] cos(k\pi+\frac{\pi}{k}) [/mm]
Auf dem Graph sehe ich, dass die Folge divergiert. Ich könnte wieder wie bei [mm] b_{k2} [/mm] argumentieren, dass [mm] \frac{\pi}{k} [/mm] gegen 0 geht und dass [mm] cos(2\pi) [/mm] offensichtlich divergiert. Aber das ist ja nix handfestes...


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Konvergenz (Richtig so?): Aufgabe (a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Mi 30.04.2008
Autor: Loddar

Hallo abi2007LK!


> [mm]a_{k1}[/mm] = [mm]\frac{2+k^2}{1+2k^2} \to[/mm] 1 (k [mm]\to \infty)[/mm] -
> einfach durch [mm]k^2[/mm] teilen und dann sieht man es.

[ok] Korrekt genommen kürzt Du aber durch [mm] $k^2$ [/mm] ...

  
> [mm]a_{k2}[/mm] = [mm]\frac{ln(k)}{\wurzel{k}}[/mm] - wie ich bei dieser
> Folge die Konvergenz überprüfen soll ist mir unklar. Ich
> denke mal, dass die Folge gegen 0 geht, da [mm]\wurzel{k}[/mm] gegen
> unendlich geht.

Verwende MBde l'Hospital oder schätze ab: [mm] $\ln(k) [/mm] \ < \ k$ ...



> [mm]a_{k3}[/mm] = [mm]\frac{\wurzel{1+k}}{2k}[/mm]
> Bei dieser Folge habe ich versucht die nach unten und oben
> abzuschätzen:
>  
> [mm]\frac{1}{2k} \le \frac{\wurzel{1+k}}{2k} \le[/mm] ???

Klammere in Zähler und Nenner $k_$ aus und kürze ... oder ebenfalls de l'Hospital.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Konvergenz (Richtig so?): Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Mi 30.04.2008
Autor: fred97

die erste Folge konv. gegen 1/2

FRED
Bezug
        
Bezug
Konvergenz (Richtig so?): Aufgabe (b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Mi 30.04.2008
Autor: Loddar

Hallo abi2007LK!



> zu (b):
>  [mm]b_{k1}[/mm] = [mm]\frac{(-1)^k}{k}[/mm]
> Bei dieser Folge haben die zwei Teilfolgen (gerade k und
> ungerade k) beide den gleichen Grenzwert - nämlich 0.
> Daraus folgt, dass dann die Folge gegen 0 geht. Stimmt doch - oder?

[ok]

  
> [mm]b_{k2}[/mm] = [mm]ln(1+k^{-\frac{1}{3}})[/mm] = [mm]ln(1+\frac{1}{k^{\frac{1}{3}}})[/mm]
> Dann habe ich argumentiert, dass [mm]\frac{1}{k^{\frac{1}{3}}}[/mm]
> gegen 0 geht und ln(1) = 0 ist. Richtig so?

[ok]

  
> [mm]b_{k3}[/mm] = [mm]cos(k\pi+\frac{\pi}{k})[/mm]
> Auf dem Graph sehe ich, dass die Folge divergiert. Ich
> könnte wieder wie bei [mm]b_{k2}[/mm] argumentieren, dass
> [mm]\frac{\pi}{k}[/mm] gegen 0 geht und dass [mm]cos(2\pi)[/mm]
> offensichtlich divergiert. Aber das ist ja nix
> handfestes...

[ok] Betrachte hier doch mal die Folge [mm] $\cos(k*x)$ [/mm] . Welche Werte nimmt dieser Folge an? Ist diese Folge konvergent?


Gruß
Loddar

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