Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Di 05.12.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Sei x [mm] \in \IR, [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1. Man zeige
a(x) := [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \vektor{x \\ n} [/mm] konvergiert absolut. |
Hallo zusammen,
folgende Überlegung meinerseits:
[mm] \vektor{x \\ n} =\bruch{x*(x-1)*(x-2)*...*(x-n+1)}{n*(n-1)*(n-2)*...*1}
[/mm]
weiterhin würde ich hier mit dem Majorantenkriterium abschätzen. D.h. ich finde eine Majorante zur oben genannten Reihe, ich nenne sie mal [mm] \summe_{n} c_n [/mm] deren Absolutbeträge aufsummiert, konvergieren und daraus kann ich dann schließen das die Reihe [mm] \summe_n a_n [/mm] ebenfalls konvergiert. Ich muß dann nur noch zeigen das von [mm] \summe_{n} a_n [/mm] auch die Absolutbeträge aufsummiert, konvergieren um absolute Konvergenz zu erhalten.
Nach Definition: Es seien [mm] \summe_{n} a_n [/mm] und [mm] \summe_n c_n [/mm] Reihen derart, dass ab einem Index p die Abschätzungen [mm] |a_n| \le |c_n| [/mm] bestehen. Dann gilt:
Konvergiert [mm] \summe_{n} |c_n|, [/mm] so konvergiert auch [mm] \summe_{n} a_n, [/mm] und es gilt [mm] |\summe _{n=p}^{\infty} a_n| \le \summe _{n=p}^{\infty } |c_n|.
[/mm]
Man könnte ja z.B. mit der Riemanschen Zetafunktion [mm] \zeta(s) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^s}, [/mm] s > 1 abschätzen bzw. als Majorante wählen. Diese Reihe konvergiert, falls s > 1 ist.
Ich muß also erstmal einen Index p finden ab dem [mm] |a_n| \le |c_n| [/mm] ist. Komme hier jetzt irgendwie nicht weiter.
Laut unserem Dozenten könnte dann folgende Abschätzung rauskommen:
a(x) := [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \vektor{x \\ n} \le [/mm] c * [mm] \zeta(s)
[/mm]
Unter dem Bruch haben ich ja auf der einen Seite n! stehen auf der anderen Seite [mm] n^s. [/mm] Wenn ich s jetzt genügend groß wähle so kann ich sagen, dass n! < [mm] n^s [/mm] sein kann. Ich weiß allerdings gerade nicht ob mir das soviel hilft.
Vielleicht kann mir von euch jemand einen Ansatz mitteilen mit dem ich erstmal weitermachen kann. Vielen Dank.
Gruß
vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Di 05.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu jedem endlichen x gibt es ein k mit x<k. Teile die Reihe auf bis n=k+1 und den Rest. dann schaetze die Glieder im 2. Teil ab, mit dem Wissen, dass x<n ist, dann kannst du sogar s=2 haben. du vergroesserst ja den Ausdruck indem du x=k setzt.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Di 05.12.2006 | | Autor: | vicky |
Vielen Dank für die Antwort.
Erstmal die Frage vorweg: Warum kann ich folgendes so benutzen und wie kommt man da drauf soetwas anzuwenden?:
> zu jedem endlichen x gibt es ein k mit x<k
> Teile die Reihe auf bis n=k+1 und den Rest
Dann erhalte ich folgenden Ausdruck: da n=k+1
[mm] \bruch{x*(x-1)*...*(x-k)}{(k+1)!} [/mm] * (x-k-1)*(x-k-2)*...*(x-n+1)
> dann schaetze die Glieder im 2. Teil ab, mit dem Wissen, dass x<n ist,
meinst du hier vielleicht x<k? Und meinst du mit dem 2.Teil = (x-k-1)*(x-k-2)*...*(x-n+1)?
> dann kannst du sogar s=2 haben
also [mm] \zeta(2) [/mm] = [mm] 1+\bruch{1}{2^2}+\bruch{1}{3^2}+\bruch{1}{4^2}+...=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm]
> du vergroesserst ja den Ausdruck indem du
> x=k setzt.
Denn letzten Teil verstehe ich nicht so ganz. Warum vergrössere ich den Ausdruck wenn x=k ist. Na gut ich habe ja vorher x<k gesetzt und wenn ich nun x=k setze wird x größer aber warum der ganze Ausdruck? Tut mir leid wenn ich mich ein bißchen dumm anstelle aber ich möchte das wirklich verstehen.
Kann mir nochmal jemand helfen?
Gruß
vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Di 05.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo vicky
Ganz zu ende hatte ich nicht gedacht und hab auch grad nicht so die geduld dazu. das mit [mm] n^2 [/mm] stimmt fast sicher nicht.
1. Da du die konvergenz sicher nur fuer endliche x beweisen kannst sagt das archimedische axiom, dass es zu jeder endlichen Zahl eine natuerliche Zahl k gibt, die groesser ist.
Betrachte [mm] \vektor{x \\ k+m}=\bruch{x*(x-1)*....}{(k+m)*(k+m-1)*...*1}<\bruch{k}{k+m}*\bruch{k-1}{k+m-1}*...*\bruch{k-k-m+1}{1}
[/mm]
Da jeder einzelne Summand vergroessert wird, wird auch die summe groesser.
das musst du weiter abschaetzen bzw teilweise kuerzen und dann abschaetzen.
Ich hoffe du kommst ans Ende.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Do 07.12.2006 | | Autor: | vicky |
Hallo nochmal,
ich verstehe das leider alles nicht wirklich. Habe mich nochmal über Binomialkoeffizienten informiert und nun bin ich total verwirrt. Konvergiert die Reihe wirklich? Ich kann das irgendwie nicht nachvollziehen. Ich wähl mein x > n somit ist der Zähler doch immer größer als der Nenner und wenn ich nun Aufsummiere werden doch die Wert immer größer oder?
Beispiel: [mm] \summe_{n=1}^{6} \vektor{49 \\ n}
[/mm]
Könnte mir vielleicht jemand dabei helfen es zu verstehen?
Gruß
vicky
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Ich denke die Aufgabe könnte man mit dem Quotientenkriterium lösen:
D.h.: Die Differenz von dem n+1 Glied der Folge geteilt durch das n. Glied der Folge und davon der Betrag muss zwischen 0 und 1 liegen damit man gezeigt hat, dass die Folge konvergiert:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\vektor{x \\ n}, x\ge1. [/mm] Da die Summe ab einem n>x immer gleich 0 ist, betrachte ich das bis höchstens zu x=n. Daraus folgt jetzt: [mm] \vmat{ \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} }\le [/mm] q, 0<q<1!
[mm] a_{n+1}=\vektor{x \\ n+1}, a_{n}=\vektor{x \\ n} \Rightarrow \vmat{ \bruch{\vektor{x \\ n+1}}{\vektor{x \\ n}} } [/mm] = [mm] \vmat{ \bruch{\bruch{x!}{((n+1)!*(x-(n+1))!)}}{\bruch{x!}{(n!(x-n)!)}}} [/mm] = [mm] \vmat{ \bruch{n!(x-n)!}{(n+1)!(x-(n+1)!)} }=\vmat{ \bruch{n!}{(n+1)!}*\bruch{(x-n)!}{(x-n)!}*\bruch{1}{(x-(n+1))} }
Bem.: Der erste Teil ist kleiner 1, der zweite kürzt sich weg und der dritte ist ebenfalls kleiner 1 und damit ist, meiner Meinung nach, nach dem Quotientenkriterium gezeigt, dass die genannte Reihe absolut konvergiert! viele grüße nach Hamburg, Andi aus dem Siegerland
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:31 Fr 08.12.2006 | | Autor: | vicky |
Hallo,
das mit dem Quotientenkriterium habe ich mir auch schon überlegt. Jedoch folgendes: Die Reihe heißt ja
[mm] a(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{x\\n}
[/mm]
wende ich das Quotientenkriterium an dann ist mein a(n) in diesem fall a(x) und a(n+1) ist dann a(x+1) und damit lässt sich das Quotientenkriterium doch nicht so gut anwenden oder habe ich da einen Denkfehler?
Gruß
vicky
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> Hallo,
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> das mit dem Quotientenkriterium habe ich mir auch schon
> überlegt. Jedoch folgendes: Die Reihe heißt ja
>
> [mm]a(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{x\\n}[/mm]
>
> wende ich das Quotientenkriterium an dann ist mein a(n) in
> diesem fall a(x) und a(n+1) ist dann a(x+1) und damit lässt
> sich das Quotientenkriterium doch nicht so gut anwenden
> oder habe ich da einen Denkfehler?
Hallo,
das x [mm] \ge [/mm] 1 ist fest. Es bewegt sich nicht. (Denk Dir im Geheimen da stünde 5.)
Das Ganze ist so zu aufzufassen, als würdest Du nacheinander die Reihen a(1), ..., [mm] a(\wurzel{3}),..., [/mm] a(5), a(67654,27953),... untersuchen, was Dich bis ans Lebensende beschäftigen würde. Das x verkürzt die Sache extrem...
Jetzt schreiben wir die Reihe anders - nur um uns selbst auszutricksen:
[mm] a=\summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] mit [mm] a_n:=\vektor{x\\n}.
[/mm]
Ich vermute, daß Du nun keine Zweifel mehr hast, wie Du das Quotientenkriterium anwenden mußt:
Du guckst Dir | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] an.
Zum Ende hin mußt Du aufpassen:
Fürs Quotientenkriterium reicht es nicht, wenn der Quotient <1 ist. Man muß konkret eine Zahl angeben können, welche den Quotienten abschätzt und kleiner als 1 ist.
Wenn Du Dich daran versuchst, solch eine Zahl zu finden, bedenke, daß Dein x im Verlauf Deiner Rechnung keine Variable ist, sondern wie eine feste Zahl zu behandeln.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Fr 08.12.2006 | | Autor: | vicky |
Viele Dank für die Antwort. Das hat mich schon ein ganzes Stück weiter gebracht.
Habe es aber nun auch auf einem anderen/ähnlichen Weg hinbekommen. Mache da zwei Abschätzungen:
Einmal für [mm] \bruch{|x*(x-1)*...*(x-k)|}{n*(n-1)*...*(n-k)} [/mm] für k [mm] \le [/mm] n
und [mm] \produkt_{i=1}^{n-k-1} \bruch{x-k-i}{i} [/mm] wobei ich [mm] |\bruch{x-k-i}{i}| [/mm] abschätze.
Gruß
vicky
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>
> Quotientenkriterium ...
> ...der Betrag muss zwischen 0 und 1 liegen damit man gezeigt hat, dass die
> Folge konvergiert:
> [mm] ...\vmat{ \bruch{\vektor{x \\ n+1}}{\vektor{x \\ n}} }[/mm] [/mm]
> = [mm]\vmat{ \bruch{\bruch{x!}{((n+1)!*(x-(n+1))!)}}{\bruch{x!}{(n!(x-n)!)}}}[/mm]
> = [mm]\vmat{ \bruch{n!(x-n)!}{(n+1)!(x-(n+1)!)} }=\vmat{ \bruch{n!}{(n+1)!}*\bruch{(x-n)!}{(x-n)!}*\bruch{1}{(x-(n+1))} }
> Bem.: Der erste Teil ist kleiner 1, der zweite kürzt sich
> weg und der dritte ist ebenfalls kleiner 1 und damit ist,
> meiner Meinung nach, nach dem Quotientenkriterium gezeigt,
> dass die genannte Reihe absolut konvergiert!
Hallo,
Dir unterläuft ein (sehr typischer!) Fehler - welchen Du in der Prüfung lieber nicht machen solltest:
Fürs Quotientenkriterium reicht es nicht, daß der Bruch <1 ist, sondern Du mußt eine konkrete Zahl angeben, welche den Bruch abschätzt.
Das ist der Grund, warum das q im Quotientenkriterium auftaucht. Der Quotient darf nicht beliebig dicht an 1 heranrücken, man benötigt das q wie einen Prellbock vor dem Ende der Gleise.
Noch eine andere Sache:
Deine Definition des Binomialkoeffizienten ist nur richtig, wenn Du es mit einem x [mm] \in \IN [/mm] zu tun hast, was hier aber nicht der Fall ist.
Man muß hier die "allgemeine" Definition nehmen, also
[mm] \vektor{x \\ n}=\bruch{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}
[/mm]
In "Deiner" Definition hast Du es mit der Fakultät einer nichtnatürlichen Zahl zu tun, z.B. (x-n)!, welche nicht definiert ist.
Nun bin ich etwas unzufrieden, weil das alles so negativ klingt...
Also: als Ansatz und Basis sind Deine ideen völlig in Ordnung, sie müssen nur noch etwas verfeinert werden!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 So 10.12.2006 | | Autor: | Thomas85 |
hi
Hab eine Frage zum Quotientenkriterium:
Wenn ich zeigen kann dass der quotient < 1 ist, ist das kriterium noch nicht hinreichend, weil ich ein x < 1 brauche mit [mm] a_n+1 [/mm] / [mm] a_n [/mm] <= x.
Bedeutet dass das ich alternativ auch zeigen kann dass der quotient kleiner 1 ist UND monoton fallend?. dann könnte man ja einfach x= [mm] a_2 /a_1 [/mm] setzten. oder sehe ich das falsch?
mfg
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> Hab eine Frage zum Quotientenkriterium:
> Wenn ich zeigen kann dass der quotient < 1 ist, ist das
> kriterium noch nicht hinreichend, weil ich ein x < 1
> brauche mit [mm]a_n+1[/mm] / [mm]a_n[/mm] <= x.
Hallo,
das ist richtig und wichtig.
> Bedeutet dass das ich alternativ auch zeigen kann dass der
> quotient kleiner 1 ist UND monoton fallend?. dann könnte
> man ja einfach x= [mm]a_2 /a_1[/mm] setzten. oder sehe ich das
> falsch?
Du siehst das richtig, und so oder ähnlich macht man es oft .
Gruß v. Angela
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