Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Do 11.01.2007 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | | Sei a [mm] \in \IN, [/mm] a>1 und [mm] (\alpha_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge natürlicher Zahlen mit 0 [mm] \le \alpha_{n} [/mm] < n. Man zeige, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} a^{-n} [/mm] in [mm] \IR [/mm] konvergiert. |
Leider weiß ich bei dieser Aufgabe nun gar nicht, wie ich es anfangen soll, muss man das mit den Kriterien machen? Zum Beispiel Wurzelkriterium, Majorante usw.?
Gruß Johie
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Hallo Johi,
> Sei a [mm]\in \IN,[/mm] a>1 und [mm](\alpha_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Folge
> natürlicher Zahlen mit 0 [mm]\le \alpha_{n}[/mm] < n. Man zeige,
> dass die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} a^{-n}[/mm] in
> [mm]\IR[/mm] konvergiert.
> Leider weiß ich bei dieser Aufgabe nun gar nicht, wie ich
> es anfangen soll, muss man das mit den Kriterien machen?
> Zum Beispiel Wurzelkriterium, Majorante usw.?
Versuchs mal mit einer Kombi aus beiden  .
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:45 Do 11.01.2007 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | Also ich habe jetzt mal versucht das Wurzelkriterium anzuwenden (konnte das noch nie so richtig, deshalb weiß ich auch nicht, wie ich das kombinieren soll):
[mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\bruch{\alpha_{n}}{a^{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha_{n}}{a} [/mm] = [mm] a^{-1}
[/mm]
Ist das so richtig? Und wie geht es dann weiter? Muss ich das jetzt nicht irgendwie abschätzen?
Gruß Johie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Do 11.01.2007 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | | Warte mal, wenn man jetzt für alle a>1 setzt, dann ist das < 1 und dann bedeutet es ja, dass die Reihe konvergiert oder? |
Bin ich denn dann schon fertig oder kann man da auch noch einen festen Wert angeben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Do 11.01.2007 | | Autor: | Johie |
Oh habe gerade gesehen, dass mein Prof einen Fehler in der Aufgabe korrigiert hat und zwar:
0 [mm] \le \alpha_{n} [/mm] < a
Ändert sich jetzt was, eigentlich doch nicht... oder?
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> Oh habe gerade gesehen, dass mein Prof einen Fehler in der
> Aufgabe korrigiert hat und zwar:
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> 0 [mm]\le \alpha_{n}[/mm] < a
>
> Ändert sich jetzt was, eigentlich doch nicht... oder?
Doch. es wird sehr einfach:
[mm] a_na^{-n}< [/mm] ???
Und dann das Majorantenkriterium.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Do 11.01.2007 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | | [mm] \alpha_{n} a^{-1} [/mm] < 1 also konvergiert es doch... |
Wozu brauche ich nun noch das Majorantekriterium?
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> [mm]\alpha_{n} a^{-1}[/mm] < 1 also konvergiert es doch...
Woraus schließt Du hier die Konvergenz? Ich sehe das so noch nicht!
Aber eigentlich wollte ich in meiner Antwort auch etwas anderes geschrieben haben (ich habe es inzwischen korrigiert):
[mm] a_na^{-n}<...
[/mm]
> Wozu brauche ich nun noch das Majorantekriterium?
Damit Du [mm] \summe a_na^{-n} [/mm] durch eine konvergierende reihe abschätzen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Do 11.01.2007 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | | [mm] \summe \alpha_{n} a^{-n} [/mm] < [mm] \summe \alpha_{n} a^{n} [/mm] = [mm] \alpha_{n}\summe a^{n} [/mm] |
Ist das so richtig? Ich habe nämlich keine Ahnung, wie man das Majorantekriterium richtig anwendet, weiß nur, dass man etwas finden muss, was größer ist, als das was man schon hat und wenn dieser größere Term konvergiert, konvergiert auch alles, was darunter liegt, oder?
Aber wenn das so stimmt, woher weiß ich nun, ob das konvergiert?
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> [mm]\summe \alpha_{n} a^{-n}[/mm] <[mm]\summe\alpha_{n}a^{n}[/mm]
Diese Umformung ist richtig, aber sinnlos.
Oder was möchtest Du mit der Information, daß für a=3 summe [mm] \alpha_{n} 3^{-n} [/mm] kleiner ist als [mm] \summe \alpha_{n}3^{n} [/mm] erreichen.
> [mm]\summe \alpha_{n} a^{n}[/mm] = [mm]\alpha_{n}\summe a^{n}[/mm]
> Ist das so richtig?
Nein, das hier jagt mir Schauer über den Rücken. Du ziehst [mm] a_n [/mm] vor die Summe, als wäre es eine Konstante.
Ich habe
> nämlich keine Ahnung, wie man das Majorantekriterium
> richtig anwendet, weiß nur, dass man etwas finden muss, was
> größer ist, als das was man schon hat und wenn dieser
> größere Term konvergiert, konvergiert auch alles, was
> darunter liegt, oder?
Das hast Du recht gut verstanden.
Du mußt also [mm] a_na^{-n} [/mm] durch eine Folge [mm] b_n [/mm] abschätzen, von der Du weißt daß [mm] \summe b_n [/mm] konvergiert.
Noch einmal die Informationen:
a>0 und 0 $ [mm] \le \alpha_{n} [/mm] $ < a.
Vor dem Abschätzen solltest Du Dich noch über geometrische Reihen informieren, und ich gebe Dir den Rat, die geometrischen Reihen für Klausuren und sonstige mathematische Situationen allzeit parat zu haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | | Ich habe mich nun über die geometrische Reihe informiert, kann es jedoch nicht wirklich umsetzen, da ich nicht genau weiß, was ich machen soll... Soll ich nun meinen gegebenen Term in der geometrischen Reihe ausdrücken? |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} a^{-n} \equiv [/mm] 1 + [mm] \alpha_{1} a^{-1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} a^{-2} [/mm] +... = ?
Kann mir gerade mal nicht vorstellen, dass das stimmt... ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Tequila |
habt ihr schon die reihen von [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] gehabt?
damit könntest du gut abschätzen wie ich finde
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> Ich habe mich nun über die geometrische Reihe informiert,
Hallo,
das ist ja schonmal gut.
Dann wirst Du inzwischen auch wissen, unter welchen Bedingungen diese Reihe konvergiert und welchen Grenzwert sie hat. (Nochmal: "man" muß das wissen, wenn nicht fürs Leben, so doch für die Klausur und Prüfung.)
> kann es jedoch nicht wirklich umsetzen, da ich nicht genau
> weiß, was ich machen soll... Soll ich nun meinen gegebenen
> Term in der geometrischen Reihe ausdrücken?
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} a^{-n} \equiv[/mm] 1 +
> [mm]\alpha_{1} a^{-1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} a^{-2}[/mm] +... = ?
>
> Kann mir gerade mal nicht vorstellen, dass das stimmt... ?
Das ist schon richtig so.
Du solltest nun eine Ähnlichkeit Deiner Reihe zur geometrischen Reihe erkennen.
Ich habe es inzwischen schon mehrmals gesagt: Du mußt [mm] a_na^{-n} [/mm] abschätzen, damit Du aus der Konvergenz der geometrischen Reihe mit dem Majorantenkriterium auf die Konvergenz Deiner Reihe schließen kannst.
(Dir ist doch klar, daß [mm] \summe a^{-n} [/mm] eine geometrische Reihe ist? Daß diese Reihe konvergiert? Folglich auch [mm] a\summe a^{-n}?)
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:23 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Johie |
Könnte das nicht die Lösung meiner Aufgabe sein, denn in (i) wird doch geguckt, ob es sich um eine konvergierende Cauchyfolge handelt, was es ja letztendlich wirklich ist...
(Siehe Anhang)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 15.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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