Konvergenz für Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 So 21.05.2006 | | Autor: | belgarda |
| Aufgabe | Weisen sie die Konvergenz der Folge [mm] (S_{n})_{n} [/mm] nach.
[mm] S_{n}:= \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{(j+1)}}{j}, [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] |
Ich weiß nicht, warum bei uns in der Aufgabenstellung "Folge" steht, da dies meiner Meinung nach eine harmonische alternierende Reihe ist, d.h. die Reihenglieder sind abwechselnd positiv und negativ.
Ich weiß bereits, dass die Folge konvergiert, nämlich bei ln2. Mein Problem ist jetzt, wie ich es nachweisen kann.
Hoffe deshalb auf euere Hilfe!
Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 So 21.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo belgarda!
Bei der Frage, ob eine Folge/Reihe konvergiert, ist der Wert des Grenzwertes zunächst uninteressant.
In Deinem Falle schreit der Nachweis ja förmlich nach dem Leibniz-Kriterium. 
Du musst also zeigen, dass [mm] $a_j [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{j}$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Mo 22.05.2006 | | Autor: | belgarda |
| Aufgabe | | zu zeigen, dass [mm] \bruch{1}{j} [/mm] streng monoton fallend |
Hi Loddar,
meine Beweisidee wäre so:
Wir nehmen die Folge [mm] a_{j}=\bruch{1}{j} [/mm] und bilden den Quotienten [mm] \bruch{a_{j+1}}{a_{j}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{j+1}}{\bruch{1}{j}} [/mm] = [mm] \bruch{j}{j+1}<1. [/mm] Da auch 0 < [mm] \bruch{1}{j} [/mm] ist, ist die untersuchte Folge streng monoton fallend und nach unten beschränkt und damit konvergent.
Ist dieser Ansatz ok?
Du hast auf das Leibniz-Kriterium verwiesen, welches ja lautet: Ist [mm] a_{j_{j}} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge mit Gliedern in IR, so konvergiert [mm] \summe_{k}(-1)^{k}a_{k}. [/mm]
Sollte mein Ansatz von oben richtig sein, so hab ich ja den ersten Teil der Behauptung (die Nullfolge also) gezeigt. Mein Problem ist jetzt aber, dass meine Folge doch anders ist: Sie heißt ja nicht [mm] \summe_{k}(-1)^{k}a_{k} [/mm] sondern [mm] \summe_{k}(-1)^{k+1} a_{k}. [/mm] Ist das Prinzipiell das gleiche? Wie kann ich es für "meine Folge" beweisen?
Danke für die Antworten!
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Hallo!
siehe Betreff!
Ciao!
P.S.: Ich will durch die Kürze nicht unhöflich wirken - aber hier viele Worte drum zu machen... Nöö
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Mo 22.05.2006 | | Autor: | belgarda |
Vielen Dank, manchmal sieht man halt den Wald vor lauter Bäumen nicht:
[mm] S_{n}:= \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{(j+1)}}{j} =\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{j}*(-1)^{1}}{j} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{j}}{j}* \bruch{-1}{j}.
[/mm]
Jetzt hab ich ja meine gewünschte Folge, hab aber trotzdem das Problem, dass ich als monoton wachsende Folge nicht [mm] \bruch{1}{j} [/mm] sondern [mm] \bruch{-1}{j} [/mm] hab. Grundsätzlich kann ich ja jetzt mit dem Leibnitz-Kriterium argumentieren. Wie kann ich aber die monoton fallende Nullfolge richtig für [mm] \bruch{-1}{j} [/mm] zeigen oder hab ich mich nur oben beim Rechnen vertan?
Ist der "Beweis" hierfür richtig?
Wir nehmen die Folge [mm] a_{j}=\bruch{1}{j} [/mm] und bilden den Quotienten [mm] \bruch{a_{j+1}}{a_{j}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{j+1}}{\bruch{1}{j}} [/mm] = [mm] \bruch{j}{j+1}<1. [/mm] Da auch 0 < [mm] \bruch{1}{j} [/mm] ist, ist die untersuchte Folge streng monoton fallend und nach unten beschränkt und damit konvergent.
Kann ich ihn irgendwie für [mm] \bruch{-1}{j} [/mm] umformen?
Wenn ich die Konvergenz nachweisen muss, brauche ich den Grenzwert doch garnicht unbedingt- oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo belgarda!
Da hast Du Dich aber bereits beim Ausklammern vertan:
[mm]S_{n} \ := \ \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{(j+1)}}{j} \ = \ \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{j}*(-1)^{1}}{j}\ = \ (-1)*\summe_{i=1}^{n}(-1)^j *\bruch{1}{j}[/mm]
Und nun hast Du auch "nur" die Folge [mm] $a_j [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{j}$ [/mm] , die Du auf Monotonie untersuchen musst (was aber nun keine Problem mehr sein sollte ...)
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Mo 22.05.2006 | | Autor: | belgarda |
Hallo Loddar, danke fürs Umformen, jetzt hab ich aber, wenn ich alles bewiesen habe, dennoch die (-1)vor der Summe stehen. Sprich:
(-1) [mm] \cdot{}\summe_{i=1}^{n}(-1)^j \cdot{}\bruch{1}{j}
[/mm]
Welchen Einfluss hat sie auf die Konvergenz? Ist eine konvergente Folge, die man mit -1 multipliziert immernoch konvergent?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo belgarda!
Ein konstanter Faktor (wie hier die $-1_$) hat auf die Konvergenz bzw. Divergenz keinerlei Einfluss.
Natürlich würde der zugehörige Grenzwert entsprechend verändert.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Mo 22.05.2006 | | Autor: | belgarda |
Alles klar, ich hoffe ich muss den Grenzwert nicht noch berechnen.
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe
LG belgarda
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