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Hallöchen,
ich gehe wieder einmal einen Beweis aus meinem Skript durch der mich etwas verzweifeln lässt und hoffe mir kann jemand weiter helfen. Es geht um den folgenden Satz:
Ist [mm] \summe_{}^{} a_n n^{-s} [/mm] für [mm] s_0 [/mm] konvergent, so auch für alles mit [mm] \sigma \to \sigma_0, [/mm] wobei s= [mm] \sigma [/mm] +i [mm] \tau. [/mm] In diesem Bereich ist die Konvergenz gleichmäßig auf kompakten Teilmengen, und f ist dort holomorph.
So nun zum eigentlichen Beweis:
Sei ohne Einschränkung [mm] s_0 [/mm] =0 (sonst multipliziere [mm] a_n \to a_n n^{-s_0})
[/mm]
[mm] \summe_{n \ge 1}^{} a_n [/mm] konvergent
Setze [mm] A(M,N)=\summe_{n=M}^{N} a_n [/mm] (M [mm] \le [/mm] N, =0 für M>N)
Sei [mm] \epsilon [/mm] >0 und wegen der Konvergenz von [mm] \summe_{n \ge 1}^{} a_n [/mm] existiert ein [mm] N_0 [/mm] mit |A(M,N)| < [mm] \epsilon [/mm] für M,N [mm] \ge N_0.
[/mm]
Für solche M,N und [mm] \sigma_0 [/mm] wird:
[mm] \summe_{n=M}^{N} a_n n^{-s}=\summe_{n=M}^{N} (A(n,N)-A(n+1,N))n^{-s}
[/mm]
Wie kann ich diese Gleichheit einsehen? Egal wie ich umforme bei mir steht nie auf beiden Seiten das gleiche :-(
=A(M,N) [mm] M^{-s}+\summe_{n=M+1}^{N} [/mm] A(n,N) [mm] (n^{-s} [/mm] - [mm] (n-1)^{-s})
[/mm]
Hierbei:
[mm] |n^{-s} -(n--1)^{-s}|= [/mm] |s [mm] \integral_{log (n+1)}^{log n}{e^{-st} dt}| \le \frac{|s|}{\sigma} \integral_{}^{}{|e^{-st}| dt}=|s| \integral_{}^{}{e^{-\sigma t} dt}=\frac{|s|}{\sigma} ((n-1)^{- \sigma} -n^{- \sigma})
[/mm]
Hier verstehe ich leider keine einzige Umformung. ich verstehe nicht wo das Integral her kommt, noch wo die Integralgrenzen bzw die Exponentialfunktion im Integral. Und die weiteren Umformungen verstehe ich leider auch gar nciht. Kann mir da irgend jemand weiter helfen?
So erstmal bis hier den Rest des Beweises versuche ich danach zu verstehen, weil ohne das ich den Anfang verstehe bringt der Rest auch nichts.
LG Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee 
> Wie kann ich diese Gleichheit einsehen? Egal wie ich
> umforme bei mir steht nie auf beiden Seiten das gleiche
> :-(
Nehmen wir die Definition:
[mm]A(M,N)=\summe_{n=M}^{N} a_n[/mm] für $M<N$
Damit wir nachher mit den Indizes nicht durcheinander kommen, schreiben wir die mal um in:
[mm]A(M,N)=\summe_{k=M}^{N} a_k[/mm] für $M<N$
Dann folgt:
$A(n,N)-A(n+1,N) = [mm] \summe_{k=n}^{N} a_k [/mm] - [mm] \summe_{k=n+1}^{N} a_k [/mm] = [mm] \summe_{k=n}^{n} a_k [/mm] = [mm] a_n$
[/mm]
Da alle Summanden ja wieder "wegsubtrahiert" werden, bis auf den ersten, der bleibt übrig.
Und damit folgt die Gleichheit:
[mm]\summe_{n=M}^{N} a_n n^{-s}=\summe_{n=M}^{N} (A(n,N)-A(n+1,N))n^{-s}[/mm]
> Hierbei:
> [mm]|n^{-s} -(n--1)^{-s}|=[/mm] |s [mm]\integral_{log (n+1)}^{log n}{e^{-st} dt}| \le \frac{|s|}{\sigma} \integral_{}^{}{|e^{-st}| dt}=|s| \integral_{}^{}{e^{-\sigma t} dt}=\frac{|s|}{\sigma} ((n-1)^{- \sigma} -n^{- \sigma})[/mm]
>
> Hier verstehe ich leider keine einzige Umformung. ich
> verstehe nicht wo das Integral her kommt, noch wo die
> Integralgrenzen bzw die Exponentialfunktion im Integral.
> Und die weiteren Umformungen verstehe ich leider auch gar
> nciht. Kann mir da irgend jemand weiter helfen?
Na dann Schritt für Schritt:
1.)Am Anfang schreiben wir "--" mal um zu "+" und erhalten [mm]|n^{-s} -(n+1)^{-s}|[/mm]
2.) Nun die erste Gleichheit, dazu betrachten wir uns mal das Integral:
[mm]\integral_{\log (n+1)}^{\log n}{e^{-st} dt}[/mm] (Tipp: Log mit \log  )
[mm] $=\left[\bruch{1}{-s}e^{-st}\right]^{\log(n)}_{\log(n+1)} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{s}*\left(e^{-s*\log(n)} - e^{-s*\log(n+1)}\right)$
[/mm]
Nun Logarithmusgesetze:
[mm] $=-\bruch{1}{s}*\left(e^{*\log\left(n^{-s}\right)} - e^{*\log\left((n+1)^{-s}\right)}\right)$
[/mm]
[mm] $=-\bruch{1}{s}*\left(n^{-s} - (n+1)^{-s}\right)$
[/mm]
Und damit erhalten wir für den zweiten Ausdruck:
[mm] $\left|s \integral_{\log (n+1)}^{\log n}{e^{-st} dt}\right| [/mm] = [mm] \left|s*\left(-\bruch{1}{s}*\left(n^{-s} - (n+1)^{-s}\right)\right)\right| =\left|\left(n^{-s} - (n+1)^{-s}\right)\right|$
[/mm]
und die erste Gleichheit ist bewiesen.
Zur Ungleichung: Erinnere dich, dass für Summen und Integrale gilt
[mm] $\left|\integral\,f(t)\,dt\right| \le \integral\,|f(t)|\,dt$ [/mm] und damit folt:
[mm] $\left|s \integral_{\log (n+1)}^{\log n}{e^{-st} dt}\right| [/mm] = [mm] |s|*\left|\integral_{\log (n+1)}^{\log n}{e^{-st} dt}\right| \le |s|*\integral_{\log (n+1)}^{\log n}{\left|e^{-st}\right| dt}$
[/mm]
Nun nutzen wir aus, dass [mm] $s=\sigma [/mm] + [mm] \tau*i$ [/mm] und damit [mm] $\left|e^{-st}\right| [/mm] = [mm] \left|e^{-(\sigma + \tau*i)t}\right| [/mm] = [mm] \left|e^{-\sigma*t}*e^{-\tau*t*i}\right| [/mm] = [mm] \left|e^{-\sigma*t}\right|*\left|e^{-\tau*t*i}\right|= \left|e^{-\sigma*t}\right|*1 [/mm] = [mm] \left|e^{-\sigma*t}\right| [/mm] = [mm] e^{-\sigma*t}$
[/mm]
Gilt nun $0 < [mm] \sigma \le [/mm] 1$ so gilt auch $|s| [mm] \le \bruch{|s|}{\sigma}$
[/mm]
Ist das gegeben?
MFG,
Gono.
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Hallöchen,
so erstmal habe ich fest gestellt, dass ich mich verschriebn habe. denn wir beginnen bei uns im Skript mit:
[mm] |n^{-s} -(n-1)^{-s} [/mm] | und nicht mit (n--1) aber dann stimmt das ganze doch gar nicht mit den Integrationsgrenzen usw oder sehe ich das falsch?
nein wir haben nicht gegeben, dass 0 < [mm] \sigma \le [/mm] 1.
Wir haben nur:
[mm] \frac{|s|}{\sigma} [/mm] = [mm] \frac{\wurzel{\sigma^2 + \tau^2}}{\sigma}= \wurzel{1+(\bruch{\tau}{\sigma})^2} [/mm] <C bringt mich das für die Umformungen weiter?
Habe nur noch ein großes Fragezeichen über dem Kopf :-(
LG
Schmetterfee
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Hiho,
> so erstmal habe ich fest gestellt, dass ich mich
> verschriebn habe. denn wir beginnen bei uns im Skript mit:
> [mm]|n^{-s} -(n-1)^{-s}[/mm] | und nicht mit (n--1) aber dann
> stimmt das ganze doch gar nicht mit den Integrationsgrenzen
> usw oder sehe ich das falsch?
Ja und Nein.
Ja die Umformung ist dann falsch, allerdings ist das nur ein kleineres Problem, weil dieselbe Umformung ja auch im letzten Schritt gemacht wird und damit zweimal derselbe Fehler gemacht wurde, der sich aufgehoben hat.
> Wir haben nur:
> [mm]\frac{|s|}{\sigma}[/mm] = [mm]\frac{\wurzel{\sigma^2 + \tau^2}}{\sigma}= \wurzel{1+(\bruch{\tau}{\sigma})^2}[/mm]
> <C bringt mich das für die Umformungen weiter?
Der nächste Schritt dann aber auch nicht. Stand das wirklich so im Skript?
Allerdings passen der zweite und vierte Ausdruck wieder zusammen, so dass man dann folgende (korrekte) Ungleichungskette erhält:
[mm] $\left|n^{-s} - (n-1)^{-s}\right| [/mm] = [mm] \left|s*\integral_{\log(n-1)}^{\log(n)}\,e^{-st}dt\right| [/mm] = [mm] |s|*\left| \integral_{\log(n-1)}^{\log(n)}\,e^{-st}dt\right| \le |s|*\integral_{\log(n-1)}^{\log(n)}\,\left|e^{-st}\right|dt [/mm] = [mm] |s|*\integral_{\log(n-1)}^{\log(n)}\,e^{-\sigma*t}dt [/mm] = [mm] |s|*\left[-\bruch{1}{\sigma}*e^{-\sigma*t}\right]_{\log(n-1)}^{\log(n)} [/mm] = [mm] \bruch{|s|}{\sigma}\left((n-1)^{-\sigma} - n^{-\sigma}\right)$
[/mm]
Und man erhält die (eigentlich gewünschte) Aussage.
MFG,
Gono.
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