Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Reihen auf Konvergenz:
(1) [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{n}{3*n+5}
[/mm]
[mm] (2)\summe_{n=1}^{ \infty}( \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] (-1)^{n}* \bruch{1}{ \wurzel{n}})
[/mm]
[mm] (3)\summe_{n=2}^{ \infty}( \bruch{1}{\wurzel{n}-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}+1}) [/mm] |
Hallo,
bei 1) weiss ich leider nicht weiter. da wollte ich das Quotientenkriterium anwenden, funktioniert aber leider nicht, da q = 1 ist.
bei 2) bin ich mir nicht sicher,darf man hier die summe auseinander ziehen? die folge müsste dann ja divergieren, da [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}( \bruch{1}{n} [/mm] ja divergiert und die zweite sume dann gegen null gehen würde.
bei 3 habe ich gar keine Ahnung wie ich da rangehen soll,
hoffe es kann mir jemand helfen.
mfg
nathenatiker
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(1)
Notwendig für die Konvergenz einer Reihe ist, daß die Reihenglieder eine Nullfolge bilden.
(2)
In der Tat darf man Reihen nicht einfach "auseinanderziehen". Wenn allerdings die beim "Auseinanderziehen" entstehenden Reihen konvergent sind, dann darf man auf die Konvergenz der Ausgangsreihe schließen.
Hier könnte man so vorgehen:
i) [mm]\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}[/mm] ist konvergent (warum?)
ii) [mm]\sum_{n=1}^{\infty}~\left( \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right) \ - \ \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}[/mm]
Annahme: Die erste Reihe ist konvergent. Was würde dann folgen?
(3)
Da könnte man es doch einmal mit dem Hauptnenner versuchen.
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Hallo,
vielen dank für die antworten, habe aber noch eine frage:
>
> [mm] ii)\sum_{n=1}^{\infty}~\left( \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right) [/mm] - [mm] \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}
[/mm]
darf man diesen Schritt so ohne weiteres einfach durchführen? reicht einfach die Argumentation, dass die Summe von konvergenten Folgen wieder konvergent ist?
und dann hätte ich noch eine frage zu folgender Aufgabe:
Untersuchen sie folgende Reihe auf Konvergenz, indem sie die Partailsummen entweder explizit berechnen oder abschätzen.
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)...(n+k)}
[/mm]
ich weiss ja, dass [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] konvergiert, kann ich jetzt einfach sagen, dass [mm] \bruch{1}{n(n+1)(n+2)...(n+k)} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] und somit
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)...(n+k)}
[/mm]
nach dem majorantenkriterium konvergiert??
MFG
nathenatiker
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Hallo nathenatiker!
> darf man diesen Schritt so ohne weiteres einfach
> durchführen? reicht einfach die Argumentation, dass die
> Summe von konvergenten Folgen wieder konvergent ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das folgt aus den Grenzwertsätzen: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\pm b_n\right)$
[/mm]
> ich weiss ja, dass [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n^{2}}[/mm] konvergiert,
> kann ich jetzt einfach sagen, dass [mm]\bruch{1}{n(n+1)(n+2)...(n+k)}[/mm] < [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] und
> somit [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)...(n+k)}[/mm] nach dem majorantenkriterium konvergiert??
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das sollte m.E. ausreichen ...
Gruß vom
Roadrunner
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