Konvergenz von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:59 So 28.11.2004 | | Autor: | Der_Literat |
Hallo!
Habe hier zwei Reihen, die ich auf Konvergenz untersuchen soll. Die Konvergenz lässt sich relativ leicht mit dem Majorantenkriterium zeigen, die Berechnung des Grenzwertes bekomme ich jedoch nicht hin. Vielleicht kann mir hier jemand helfen?!
a.) [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{n}{(2n-1)^2 (2n+1)^2}
[/mm]
Konvergent wegen Majorante:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{n}{(2n-1)^2 (2n+1)^2}= \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{n}{(4n^2-1)^2} <\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{n}{4n^3}<\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{n}{n^3}=\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n^2}
[/mm]
b.) [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{n^2}{ \wurzel{n^7+1}}
[/mm]
Konvergent wegen Majorante:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{n^2}{ \wurzel{n^7+1}}< \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{n^2}{ \wurzel{n^7}}= \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n^\bruch{3}{2}}
[/mm]
Aber wie bekomme ich die Grenzwerte nun heraus?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Mo 29.11.2004 | | Autor: | felixs |
> a.) [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{n}{(2n-1)^2 (2n+1)^2}
[/mm]
> Aber wie bekomme ich die Grenzwerte nun heraus?!
also ich glaube [mm] $\bruch{n}{(2n-1)^2 (2n+1)^2}$ [/mm] laesst sich schreiben als [mm] $\frac{1}{8}(\frac{1}{(2n-1)^2} [/mm] - [mm] \frac [/mm] {1} [mm] {(2n+1)^2})$ [/mm] (partialbruchzerlegung).
die summe sieht dann etwa so aus:
[mm] $\frac{1}{8}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^2}+ \cdots \right)$
[/mm]
da fliegt dann jeder 2. summand raus und [mm] $\frac{1}{8}$ [/mm] bleibt uebrig. von rechenfehlern mal abgesehen....
b) schau ich noch an.
[edit] leider faellt mir dazu gerade ueberhaupt nix ein :| [mm] [\edit]
[/mm]
gruss
--felix
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