Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Di 05.07.2011 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihen auf (absolute) Konvergenz:
a) [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{cos(k\pi)}{k+1}$
[/mm]
b) [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}k\cdot q^{k-1}$ [/mm] |
Hallo,
bei a) wollte ich zuerst das Leibniz-Kriterium anwenden aber das bringt ja nichts, da die restliche Folge immernoch alternierend ist. Da [mm] $cos(k\pi)$ [/mm] ja immer zwischen -1 und 1 springt, habe ich die Reihe "umgebaut".
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{cos(k\pi)}{k+1}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k(-1)^k\frac{1}{k+1}=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}$
[/mm]
Das ist jetzt die harmonische Reihe und diese ist divergent.
zu b)
Hier bräuchte ich mal einen Anstoss. Da ich weiß dass [mm] $q^k$ [/mm] für $|q|<1$ konvergiert bzw. für [mm] $|q|\geq [/mm] 1$ divergiert, wollte ich zuerst das Majoranten- oder Minorantenkriterium anwenden. Dabei hab ich [mm] $k\cdot q^{k-1}$ [/mm] mit [mm] $k\cdot q^{k}$ [/mm] abgeschätzt aber hier lassen sich die beiden Kriterien ja nicht anwenden.
Wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Di 05.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Reihen auf (absolute) Konvergenz:
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> a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{cos(k\pi)}{k+1}[/mm]
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> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}k\cdot q^{k-1}[/mm]
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> Hallo,
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> bei a) wollte ich zuerst das Leibniz-Kriterium anwenden
> aber das bringt ja nichts, da die restliche Folge immernoch
> alternierend ist. Da [mm]cos(k\pi)[/mm] ja immer zwischen -1 und 1
> springt, habe ich die Reihe "umgebaut".
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{cos(k\pi)}{k+1}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k(-1)^k\frac{1}{k+1}=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}[/mm]
>
> Das ist jetzt die harmonische Reihe und diese ist
> divergent.
O.K.
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>
> zu b)
> Hier bräuchte ich mal einen Anstoss. Da ich weiß dass
> [mm]q^k[/mm] für [mm]|q|<1[/mm] konvergiert bzw. für [mm]|q|\geq 1[/mm] divergiert,
> wollte ich zuerst das Majoranten- oder Minorantenkriterium
> anwenden. Dabei hab ich [mm]k\cdot q^{k-1}[/mm] mit [mm]k\cdot q^{k}[/mm]
> abgeschätzt aber hier lassen sich die beiden Kriterien ja
> nicht anwenden.
>
> Wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben kann.
Wurzelkriterium
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Di 05.07.2011 | | Autor: | Trolli |
> > zu b)
> > Hier bräuchte ich mal einen Anstoss. Da ich weiß dass
> > [mm]q^k[/mm] für [mm]|q|<1[/mm] konvergiert bzw. für [mm]|q|\geq 1[/mm] divergiert,
> > wollte ich zuerst das Majoranten- oder Minorantenkriterium
> > anwenden. Dabei hab ich [mm]k\cdot q^{k-1}[/mm] mit [mm]k\cdot q^{k}[/mm]
> > abgeschätzt aber hier lassen sich die beiden Kriterien ja
> > nicht anwenden.
> >
> > Wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben kann.
>
> Wurzelkriterium
>
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|k\cdot q^{k-1}|}=\limes_{k\rightarrow\infty}(\sqrt[k]{k}\cdot\sqrt[k]{q^{k-1}})=\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{k}\cdot\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{q^{k-1}}=1\cdot [/mm] q=q$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] für |q|<1 absolut konvergent
Ist es so in Ordnung?
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Hallo Trolli,
> > > zu b)
> > > Hier bräuchte ich mal einen Anstoss. Da ich weiß
> dass
> > > [mm]q^k[/mm] für [mm]|q|<1[/mm] konvergiert bzw. für [mm]|q|\geq 1[/mm] divergiert,
> > > wollte ich zuerst das Majoranten- oder Minorantenkriterium
> > > anwenden. Dabei hab ich [mm]k\cdot q^{k-1}[/mm] mit [mm]k\cdot q^{k}[/mm]
> > > abgeschätzt aber hier lassen sich die beiden Kriterien ja
> > > nicht anwenden.
> > >
> > > Wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben kann.
> >
> > Wurzelkriterium
> >
>
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|k\cdot q^{k-1}|}=\limes_{k\rightarrow\infty}(\sqrt[k]{k}\cdot\sqrt[k]{q^{k-1}})=\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{k}\cdot\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{q^{k-1}}=1\cdot q=q[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] für |q|<1 absolut konvergent
>
> Ist es so in Ordnung?
Jo!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Di 05.07.2011 | | Autor: | Trolli |
Ich danke Euch.
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