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Hallo,
ich sitze seit mehreren Stunden über zwei Aufgaben, und entweder bin ich zu blöd, oder blind, oder ich verrechne mich nur ständig... Kann irgendjemand helfen?
Es geht darum, den Konvergenzradius der folgenden beiden Reihen zu finden:
1) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] a^{n}+b^{n}
[/mm]
2) [mm] a_{n}= \vektor{2n \\ n}
[/mm]
Was ich relativ sicher weiß, ist, das die erste Reihe mit dem Wurzelkriterium gelöst werden muß und die zweite mit dem Quotientenkriterium.. Ich bekomme bei beiden jedoch immer Null als Radius raus, weiß aber aus einem Buch (bei dem leider der Lösungsweg komplett fehlt) daß bei 2) 1/4 rauskommen muß...
Könnt ihr mir weiterhelfen??
Liebe Grüße,
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Fr 07.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo,
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> ich sitze seit mehreren Stunden über zwei Aufgaben, und
> entweder bin ich zu blöd, oder blind, oder ich verrechne
> mich nur ständig... Kann irgendjemand helfen?
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> Es geht darum, den Konvergenzradius der folgenden beiden
> Reihen zu finden:
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> 1) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]a^{n}+b^{n}
[/mm]
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> 2) [mm]a_{n}= \vektor{2n \\ n}
[/mm]
Meine Meinung macht der Konvergenzradius nur für Potenzreihen Sinn.
Es geht also um [mm]\sum_n a_n\,x^n[/mm]?
zu 1) Ja wahrscheinlich Wurzelkriterium, gibt aber ein paar Schwierigkeiten.
zu 2) Man berechnet [mm]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm] und diese Limes ist dann der Konvergenzradius der Potenzreihe (wobei hier der absolute Betrag weggelassen werden kann, ist ja alles positiv). Dazu muss man am besten [mm]{2n \choose n}[/mm] mit Hilfe von Fakultäten schreiben [mm]a_n={2n \choose n}=\frac{(2n)!}{n!\,n!}[/mm] und dito für [mm]a_{n+1}[/mm].
Dann ergibt sich für [mm]\frac{a_n}{a_{n+1}}[/mm] ein Doppelbruch. Diesen auflösen und kräftig kürzen. Dann lässt sich der Limes bestimmen.
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> Was ich relativ sicher weiß, ist, das die erste Reihe mit
> dem Wurzelkriterium gelöst werden muß und die zweite mit
> dem Quotientenkriterium.. Ich bekomme bei beiden jedoch
> immer Null als Radius raus, weiß aber aus einem Buch (bei
> dem leider der Lösungsweg komplett fehlt) daß bei 2) 1/4
> rauskommen muß...
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> Könnt ihr mir weiterhelfen??
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> Liebe Grüße,
>
> Sabine
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Hallo Moudi, hallo Marcel,
1) ja, es geht um Potenzreihen, da war ich etwas sehr schlampig beim Schreiben, sorry.
2) a und b bei 1) sind aus [mm] \IC, [/mm] außerdem ist [mm] |a|\not=|b|
[/mm]
Vielleicht könnt ihr mir mit diesen Infos zu 1) ja noch ein bißchen mehr helfen.. wär toll!
Danke schon mal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
damit läßt sich bestimmt schon mehr anfangen, nur leider werde ich vor Sonntag keine Zeit mehr dafür finden (ich werde mich auch gleich wieder ausloggen müssen). Aber vielleicht kann dir ja moudi (oder sonstjemand) inzwischen helfen. Ich bin da eigentlich zuversichtlich. 
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Sa 08.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo Moudi, hallo Marcel,
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> 1) ja, es geht um Potenzreihen, da war ich etwas sehr
> schlampig beim Schreiben, sorry.
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> 2) a und b bei 1) sind aus [mm]\IC,[/mm] außerdem ist
> [mm]|a|\not=|b|
[/mm]
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> Vielleicht könnt ihr mir mit diesen Infos zu 1) ja noch ein
> bißchen mehr helfen.. wär toll!
Hallo Sabine
Ich hab mir noch ein paar Gedanken gemacht zu 1). Es geht besser (ist meistens so) mit dem Quotientenkriterium.
Zuerst ein paar heuristisceh Ueberlegungen. Gehen wie mal von [mm]|a|>|b|[/mm] aus. Im anderen Fall ist es analog. Dann wird für n gegen unendlich [mm]a^n[/mm] dominieren und [mm]b^n[/mm] ist "vernachlässigbar". Wenn man [mm]b^n[/mm] einfach weglässt, ist es klar, dass der Konvergenzradius [mm]r=\frac 1{|a|}[/mm] ist. Das will man jetzt auch formal zeigen.
Wir benützen das Quotientenkriterium und berechnen
[mm]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|= \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a^n+b^n}{a^{n+1}+b^{n+1}}\right|[/mm]
Jetzt geeignet umformen. Irgendwie will man ausdrücken, dass b vernachlässigbar ist. Das ist dadurch gewährleistet, dass [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{b^n}{a^n}\right=0[/mm]. Man kürzt also den Bruch mit [mm]a^n[/mm] und erhält:
[mm]=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1+\frac{b^n}{a^n}}{a+\frac{b^{n+1}}{a^n}}\right|
=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1+\frac{b^n}{a^n}}{a(1+\frac{b^{n+1}}{a^{n+1}})}\right|[/mm]
Jetzt kannst du den Limes bestimmen und erhältst das Gewünschte.
mfG Moudi
>
> Danke schon mal!
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Hi Moudi,
erstmal vielen Dank, Deine Antwort hat sehr viel weitergeholfen..
Aber...
Heißt es beim Quotientenkriterium nicht
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
[/mm]
??
Ich hab damit gerechnet und bekomme für a>b r= [mm] \bruch{1}{a}
[/mm]
und für b>a r= [mm] \bruch{1}{b}
[/mm]
heraus...
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Sa 08.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hi Moudi,
>
> erstmal vielen Dank, Deine Antwort hat sehr viel
> weitergeholfen..
>
> Aber...
>
> Heißt es beim Quotientenkriterium nicht
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
[/mm]
> ??
Ja das ist teilweise richtig. Es geht aber um zwei verschiedene Dinge.
i) Es geht um gewöhnliche Reihen (nicht um Potenzreihen).
D.h. [mm]\sum_n a_n[/mm].
Das Quotientenkriterium lautet in diesen Fall: Existiert der Limes
[mm]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|[/mm] und ist dieser
Limes kleiner als 1, dann konvergiert die Reihe [mm]\sum_n a_n[/mm].
ii) Es geht um Potenzreihen. D.h. [mm]\sum_n a_n x^n[/mm]
Das Quotientenkriterium lautet in diesen Fall: Existiert der Limes
[mm]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|[/mm] und ist dieser Limes gleich r,
dann konvergiert die Reihe [mm]\sum_n a_n x^n[/mm] für alle x mit [mm]|x|
Die zweite Formulierung ii) ist eine direkte Konsequenz der ersten Formulierung i). Kannst du dir ja selber überlegen.
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> Ich hab damit gerechnet und bekomme für a>b r=
> [mm]\bruch{1}{a}
[/mm]
> und für b>a r= [mm]\bruch{1}{b}
[/mm]
> heraus...
Da hast du den absoluten Betrag vergessen den a kann eine beliebige komplexe Zahl sein. Darum sind die Resultate [mm]r=\bruch{1}{|a|}[/mm] rsp. [mm]r=\bruch{1}{|b|}[/mm] richtig
>
> Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
könntest du (wenn du auf moudi's Rückfrage bzgl. der Aufgabenstellung antwortest) auch bei der ersten Aufgabe dazuschreiben, was $a$ bzw. $b$ dort sind? Beliebige, aber feste reelle (komplexe?) Zahlen?
Viele Grüße,
Marcel
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Es scheint hier ja immer noch etwas Konfusion zu geben. Ich hoffe, diese hiermit endgültig beseitigen zu können.
Falls [mm] a_{n} [/mm] = [mm] a^n+b^n [/mm] dann gilt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a^{n}x^{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b^{n}x^{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (ax)^{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (bx)^{n}
[/mm]
Das sind zwei geometrische Reihen mit Konvergenzradius [mm] \bruch{1}{|a|} [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{|b|}. [/mm] Der Konvergenzradius der ursprünglichen Reihe ist dann das Minimum dieser Zahlen.
Falls [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] dann gilt nach dem Quotienkriterium:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{2(n+1) \\ n+1}}{\vektor{2n \\ n}} [/mm] = [mm] \bruch{(2n+2)(2n+1)...(n+2)}{(n+1)!} \bruch{n!}{(2n)(2n-1)...(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)(n+1)}
[/mm]
Für n gegen unendlich geht das gegen 4. Also ist der Konvergenzradius gleich [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
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