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Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:03 Mo 28.06.2004
Autor: FLy

hi

Könnte mir bitte jemand erklären wie man den Konvergenzradius R einer Potenzfunktion bestimmt  am besten anhand des beispieles:

Sin x := [mm] \summe_{n=0}^{unendlich} \bruch{x^{2n}}{(2n)!} [/mm]

Schon mal danke für die mühe!

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Mo 28.06.2004
Autor: felixs


> Könnte mir bitte jemand erklären wie man den Konvergenzradius R einer
> Potenzfunktion bestimmt  am besten anhand des beispieles:
> sin x= [...]

ich glaube ...
$ sin(x) = [mm] \sum \frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!} \cdot (-1)^n [/mm] $

und: konvergenzradius einer reihe zu bestimmen die auf ganz $ [mm] \mathbb{C} [/mm] $ konvergiert halte ich fuer keine sinnvolle idee.

in jedem anderen fall wuerde ich dir raten dir mal einfache konvergenzkriterien (oder deren beweise) anzuschauen (quotientenkriterium, wurzelkriterium und was es so gibt)

hth
--felix

PS: ein (anderes) konkretes beispiel kannich evtl erlaeutern (wenn du noch eins hast).
Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:52 Di 29.06.2004
Autor: Marc

Hallo zusammen und an FLy:

[willkommenmr]

>  > sin x= [...]

>  
> ich glaube ...
>  [mm]sin(x) = \sum \frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!} \cdot (-1)^n[/mm]

Das denke ich auch :-)
  
> und: konvergenzradius einer reihe zu bestimmen die auf ganz
> [mm]\mathbb{C}[/mm] konvergiert halte ich fuer keine sinnvolle
> idee.

Die Frage ist aber doch trotzdem sinnvoll, die Antwort wäre dann [mm] $R=\infty$. [/mm]

An FLy:

Meinst du nun die Reihe

[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ($=\sin [/mm] x$)

oder tatsächlich die Reihe

[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{(2n)!}$ ($\not=\sin [/mm] x$)?

Aber auch bei der zweiten Reihe wäre der Konvergenzradius [mm] $R=\infty$, [/mm] denn es gilt doch:

[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{(2n)!}$ [/mm]
[mm] $\le \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{(2n)!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ [/mm]
$= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}$ [/mm]
[mm] $=e^x$ [/mm]

Die Reihe ist also für alle x nach oben beschränkt (durch [mm] $e^x$) [/mm] und sowieso monoton wachsend, also konvergent für jedes x.

Viele Grüße,
Marc
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Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:00 Di 29.06.2004
Autor: FLy

HI

Sorry meinte wirklich diese Reihe:


sin(x) = [mm] \sum \frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!} \cdot (-1)^n [/mm]

Verstehe aber leider immer noch nicht wie man vorgehen soll wenn man so nee Reihe bekommt und den konvergenzradius suchen soll!

Mfg

Fly
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Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Di 29.06.2004
Autor: Julius

Hallo Fly!

du solltest mal das Quotientenkriterium für Konvergenzradien anwenden, dann steht es sofort da:

[mm] $r=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(2n-1)!}}{\frac{1}{(2n+1)!}} [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} [/mm] (2n+1) [mm] \cdot [/mm] (2n) = + [mm] \infty$. [/mm]

Allgemein kann ich dir nur raten, dir den folgenden Beitrag mal durchzulesen, insbesondere auch den Link, der dort angegeben wird. Danach sollte eigentlich alles klar sein:

https://matheraum.de/read?f=17&t=1192&i=1195

Wenn du anschließend immer noch Fragen hast, kannst du dich ja wieder melden.

Liebe Grüße
Julius
Bezug
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