Kreisgleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | Gegeben ist folgende Kreisgleichung K: z*z^*-(3-i)*z^*-(3+i)*z-6=0
Durch [mm] w=\bruch{1}{z^*} [/mm] wird die Spiegelung am Einheitskreis beschrieben.
Spiegeln Sie den Kreis K am Einheitskreis und geben Sie die resultierende Gleich Ks in der selben Form wie K an. |
Notiz: z^* steht für die komplex konjugierte Zahl von z
Ich habe [mm] w=\bruch{1}{z^*} [/mm] erst mal nach z* umgeformt
[mm] z^*=\bruch{1}{w}
[/mm]
und dann das in die Kreisgleichung eingesetzt.
Nur wie muss ich dann weiter vor gehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Mo 06.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
Es sollten erst mal einige Dinge präzisiert werden
> Gegeben ist folgende Kreisgleichung K:
> z*z^*-(3-i)*z^*-(3+i)*z-6=0
> Durch [mm]w=\bruch{1}{z^*}[/mm] wird die Spiegelung am
> Einheitskreis beschrieben.
Also meinst Du [mm] w=\bruch{1}{\overline{z}} [/mm] wobei [mm] \overline{z} [/mm] ist das konjugiert komplexe von z ist
Damit ist folgende Gleichung zu transfomieren
(1) [mm] |z|^2-(3-i)\overline{z}-(3+i)z-6=0
[/mm]
> Spiegeln Sie den Kreis K am Einheitskreis und geben Sie
> die resultierende Gleich Ks in der selben Form wie K an.
> Notiz: z^* steht für die komplex konjugierte Zahl von z
Die übliche Schreibweise ist [mm] \overline{z}
[/mm]
> Ich habe [mm]w=\bruch{1}{z^*}[/mm] erst mal nach z* umgeformt
> [mm]z^*=\bruch{1}{w}[/mm]
> und dann das in die Kreisgleichung eingesetzt.
> Nur wie muss ich dann weiter vor gehen?
Wenn [mm] w=\bruch{1}{\overline{z}} [/mm] ist, gilt [mm] \overline{w}=\bruch{1}{z}
[/mm]
D.h. [mm] z=\bruch{1}{\overline{w}} [/mm] und [mm] \overline{z}=\bruch{1}{w}
[/mm]
Das jetzt in die Gleichung (1) einsetzten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Coxy |
Eine kurze Frage warum gilt den bzw. wie ist die Herleitung?:
Wenn $ [mm] w=\bruch{1}{\overline{z}} [/mm] $ ist, gilt $ [mm] \overline{w}=\bruch{1}{z} [/mm] $
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Hallo,
> Eine kurze Frage warum gilt den bzw. wie ist die
> Herleitung?:
> Wenn [mm]w=\bruch{1}{\overline{z}}[/mm] ist, gilt [mm]\overline{w}=\bruch{1}{z}[/mm]
Na, konjugiere mal [mm]w=\frac{1}{\overline z}[/mm]
Das gibt [mm]\overline w \ = \ \overline{\left(\frac{1}{\overline z}\right)} \ = \ \frac{\overline 1}{\overline{\overline z}} \ = \ \frac{1}{z}[/mm]
Ist dir klar, wieso [mm] $\overline [/mm] 1=1$ ist und [mm] $\overline{\overline z}=z$ [/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:41 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Coxy |
Nein das weiß ich auch noch nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Nein das weiß ich auch noch nicht...
Dann befasse dich zunächst mit den Grundlagen der Komplexen Zahlen anstatt mit Kreisgleichungen und derlei Dingen. Schlage insbesondere nach, was eine konjugiert komplexe Zahl ist.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Coxy |
Also ich glaube ich hab verstanden nur:
Warum ist [mm] 1=\overline(1)
[/mm]
Beim Z führt eine doppelte Konjugation ja dazu das sie quasi neutralisiert, richtig?
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Hallo Coxy,
> Also ich glaube ich hab verstanden nur:
> Warum ist [mm]1=\overline(1)[/mm]
Hast Du das nun verstanden oder nicht? Das wird hier nicht klar. Tipp: 1 ist eine reelle Zahl.
> Beim Z führt eine doppelte Konjugation ja dazu das sie
> quasi neutralisiert, richtig?
Ja, richtig.
Gib doch mal die Definition einer komplex Konjugierten, nur damit wir alle sicher sind, dass wir hier auch das gleiche meinen.
Und dann: was heißt das nun für Deine Aufgabe?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Di 07.01.2014 | | Autor: | Coxy |
Also eine konjugierte Komplexe Zahl hat den selben Realteil aber das gegenteilige Vorzeichen im Imaginärteil d.h. also eine Spiegelung an der rellen Achsen.
Dann verstehe ich auch warum das mit der 1 ist :)
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Di 07.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also eine konjugierte Komplexe Zahl hat den selben Realteil
> aber das gegenteilige Vorzeichen im Imaginärteil d.h. also
> eine Spiegelung an der rellen Achsen.
So ist es.
FRED
> Dann verstehe ich auch warum das mit der 1 ist :)
> Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Di 07.01.2014 | | Autor: | Coxy |
So ich hab nun eingesetzt und folgendes erhalten
Ks: [mm] \bruch{1}{(betrag von w)^2}-(3-i)*\bruch{1}{w}-\overline{m} *\bruch{1}{\overline{w}}-6=0
[/mm]
Wie bekomme ich das aber in die selbe Form wie K ?
Ich habe keine Idee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Di 07.01.2014 | | Autor: | chrisno |
Multipliziere die ganze Gleichung mit $w [mm] \cdot \overline{w}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Di 07.01.2014 | | Autor: | Coxy |
Danke eine letzte Frage noch:
ist mein neuer Mittelpunkt dann:
(3-i)/6 oder -(3-i)/6 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Mi 08.01.2014 | | Autor: | chrisno |
Das solltest Du alleine hinbekommen.
Wie entnimmst Du einer Kreisgleichung den Mittelpunkt? Führe das am Beispiel der Ausgangsgleichung durch. Schreibe die Gleichung des neuen Kreises darunter, genau so sortiert nach [mm] $|\omega^2|$, $\overline{\omega}$, $\omega$. [/mm] Dann musst Du noch die Minuszeichen wieder vor die [mm] $\overline{\omega}$ [/mm] und [mm] $\omega$ [/mm] Terme bekommen.
> Danke eine letzte Frage noch:
> ist mein neuer Mittelpunkt dann:
> (3-i)/6 oder -(3-i)/6 ?
Dann ist meine Antwort: weder noch.
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