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Hallo nochmal.
Mein Mathematikstudium beginnt bald, ich hänge jeoch momentan bei einer Aufgabe, bei welcher mir der Ansatz fehlt.
Es sind die Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte gesucht.
Die Funktion ist f(x) = sin(x) + 1/2 sin(2x) + 1/3 sin(3x)
Die Ableitungen zu bestimmen ist ja weniger schwierig:
f'(x) = cos(x) + cos(2x) + cos(3x)
f''(x) = - ( sin(x) + 2*sin(2x) + 3*sin(3x) )
f''(x) = - (cos(x) + 4*cos(2x) + 9*sin(3x) )
Na gut, laut Lösungsbuch ist die Nullstelle x = 0.
Nun schonmal:
Wie bestimme ich x aus f(x) = 0 ?
Die goniometrischen Additionstheoreme und sonstige Umrechnungen helfen mir wenig weiter.
Die restlichen Ableitungen = 0 zu setzen enthalten das gleiche Problem.
Wäre für Hilfe dankbar.
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Hallo Torsten83,
> Mein Mathematikstudium beginnt bald, ich hänge jeoch
> momentan bei einer Aufgabe, bei welcher mir der Ansatz
> fehlt.
> Es sind die Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte
> gesucht.
>
> Die Funktion ist f(x) = sin(x) + 1/2 sin(2x) + 1/3 sin(3x)
>
> Die Ableitungen zu bestimmen ist ja weniger schwierig:
>
> f'(x) = cos(x) + cos(2x) + cos(3x)
> f''(x) = - ( sin(x) + 2*sin(2x) + 3*sin(3x) )
> f''(x) = - (cos(x) + 4*cos(2x) + 9*sin(3x) )
>
> Na gut, laut Lösungsbuch ist die Nullstelle x = 0.
> Nun schonmal:
>
> Wie bestimme ich x aus f(x) = 0 ?
> Die goniometrischen Additionstheoreme und sonstige
> Umrechnungen helfen mir wenig weiter.
Bei f(x) = 0 läßt sich nach Anwendung der Additionstheoreme sin(x) ausklammern. Und somit die Nullstellen bestimmen.
Dasselbe Vorgehen bei den weiteren Ableitungen.
Gruß
MathePower
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Hm, mir fiel natürlich dieses Theorem ein:
sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x)
Jedoch kenne ich bezüglich sin(3x) kein solches Additionstheorem.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Do 22.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Die Formel für [mm] $\sin(3x)$ [/mm] könntest Du Dir ja auch schnell herleiten über [mm] $\sin(3x) [/mm] \ = \ sin(x+2x) \ = \ ...$
Hier mal das Ergebnis: [mm] $\sin(3x) [/mm] \ = \ [mm] 3*\sin(x) [/mm] - [mm] 4*\sin^3(x)$
[/mm]
Damit kommst Du doch nun weiter, oder?
Gruß
Loddar
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Naja, wenn ich meinen Additionstheoremen gehe:
sin(x+2x) wäre dann nach sin (x+y) = sin(x) * cos(y) + cos (x) * sin (y)
folgendes:
sin(x+2x) = sin(x) * cos(2x) + cos(x) * sin(2x)
Danach würde ich das tuen:
sin(x+2x) = sin(x) * ( [mm] cos^2(x) [/mm] - [mm] sin^2 [/mm] (x) ) + 2 * sin(x) * [mm] cos^2(x)
[/mm]
sin(x+2x) = sin(x) * ( 3 * [mm] cos^2(x) [/mm] - [mm] sin^2(x) [/mm] )
sin(x+2x) = 3 * sin(x) * [mm] cos^2(x) [/mm] - [mm] sin^3(x)
[/mm]
Kannst du mir mal erklären, wie du von diesem jetzt zu deiner Lösung für sin(3x) kommst?
Ich halte es schon für eine Frechheit dieses Buches, so eine Aufgabe in die Übungsaufgaben mit einzufädeln...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Do 22.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Torsten!
> sin(x+2x) = 3 * sin(x) * [mm]cos^2(x)[/mm] - [mm]sin^3(x)[/mm]
>
>
> Kannst du mir mal erklären, wie du von diesem jetzt zu
> deiner Lösung für sin(3x) kommst?
Beachte einfach: [mm] $\cos^2(x) [/mm] = 1 - [mm] \sin^2(x)$, [/mm] setze dies oben ein, multipliziere aus und fasse zusammen. 
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Do 22.09.2005 | | Autor: | Torsten83 |
Shit.
Ich muss jetzt ehrlich sagen: Nachdem ich die letzte Frage stellte, war ich joggen. Und während des Joggens habe ich mir natürlich Gedanken darüber gemacht. Kam dabei auch sehr schnell darauf, dass ja
[mm] cos^2(x) [/mm] = 1 - [mm] sin^2(x) [/mm]
ist.
Trotzdem danke. Sollte mir vielleicht demnächst doch ein paar min Zeit lassen, mir Gedanken zu machen, bevor ich weiterfrage...
Ich merke, trigonometrische Additionstheoreme sind Übungssache. Kann man grundsätzlich jegliche trigonometrische Gleichung darüber lösen, oder gibt es auch welche, die grundsätzlich nicht mithilfe der Additionstheoreme lösbar sind?
Wäre mal interessant.
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Na gut, die Nullstellen haben jetzt kein Problem dargestellt.
War ja im Endeffekt nur eine reelle, die beiden anderen wären ein konjugiert komplexes Päarchen gewesen.
Nun gut, danach wollte ich mich voller Optimismus an f'(x)=0 ranmachen.
Habe erst mal f'(x) = cos(x) + cos(2x) + cos(3x) umgeformt...
Und zwar folgend:
f'(x) = cos(x) + cos(2x) + cos(3x)
=
cos(x) + [mm] cos^2(x) [/mm] - [mm] sin^2(x) [/mm] + cos(x)*cos(2x) - sin(x)*sin(2x)
=
cos(x) + [mm] cos^2(x) [/mm] - [mm] sin^2(x) [/mm] + [mm] cos(x)*(cos^2(x) [/mm] - [mm] sin^2(x)) [/mm] - [mm] 2*sin^2(x)*cos(x)
[/mm]
=
cos(x) + [mm] 2*cos^2(x) [/mm] - 1 + [mm] cos(x)*(2*cos^2(x) [/mm] - 1) - 2*(1 - [mm] cos^2(x))*cos(x)
[/mm]
=
[mm] 4*cos^3(x) [/mm] + [mm] 2*cos^2(x) [/mm] - 2*cos(x) - 1 = 0
=
[mm] cos^3(x) [/mm] + 1/2 [mm] *cos^2(x) [/mm] - 1/2 *cos(x) - 1/4 = 0
Nun, bei der Berechnung der Nullstellen, war es mir möglich, sin(x) auszuklammern, was es wesentlich vereinfacht hat.
Hier ist es mir nicht möglich, wegen des Restes -1 bzw. -1/4.
Ich setze nun cos(x) = u
Daraus folgt: [mm] u^3 [/mm] + 1/2 [mm] *u^2 [/mm] - 1/2 *u -1/4 = 0
Dies ist ein Polynom 3. Grades. Ich kenne leider nur die quadratische Ergänzung für das Polynom 2. Grades.
Habe schon versucht, verschiedene Werte für u einzusetzen, um die erste Nullstelle und damit einen Linearfaktor zu erhalten.
Mit u = 2/3 kam ich am nächsten... aus u = 2/3 folgte 7/27 - 7/28 = 0
Bedeutet, u muss einen ziemlich spezifischen rationalen Wert oder einen irrationalen Wert einnehmen...
Entweder ich habe vorher irgendwo einen Fehler gemacht, oder dies ist ein Scherzaufgabe der Herausgeber des Übungsbuches.
Besten Dank, wenn ich jemand die Mühe macht. :D
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Hi, Torsten,
Du hast Recht: Es ist nicht ganz leicht, die Lösungen zu finden!
Aber wenn man einkalkuliert, dass wegen der Substitution u=cos(x) "eigentlich" nur Lösungen -1 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] +1 sinnvoll sind, kann man schon draufkommen, dass [mm] u_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] ist.
Nach Polynomdivision erhältst Du dann noch: [mm] u_{2/3} [/mm] = [mm] \pm \bruch{1}{2}*\wurzel{2}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Torsten83 |
Danke!
Ich hatte gerade keinen Techenrechner hier, und keine Lust, zuviel auszuprobieren.
Aber daran, dass -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 hätte ich natürlich kommen sollen.
Naja, aus Fehlern lernt man, und ich werde aus dieser Aufgabe gerade viel lernen...
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