Kurvendiskussion mit f(x,y) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Ali |
Hallo!
Ich soll bei folgender Funktion die relativen Extremalpunkte und Sattelpunkte bestimmen: [mm] f(x,y)=(x²+y²)*e^{-(x-y)}
[/mm]
f:lR² [mm] \to [/mm] lR+
Wie ich diese Funktion partiell ableite weiß ich, hab ich auch schon gemacht.
Nach x:
[mm] f'(x,y)=e^{y-x}*(2x-x²-y²)
[/mm]
[mm] f''(x,y)=e^{y-x}*(x²-4x+y²+2)
[/mm]
Nach y:
[mm] f'(x,y)=e^{y-x}*(2y+x²+y²)
[/mm]
[mm] f''(x,y)=e^{y-x}*(y²+4y+x²+2)
[/mm]
Mein Problem besteht darin das ich nicht weiß wie die Bedingungen für Extrema und Sattelpunkte bei Funktion mit 2 Variablen sind.
Gruß Ali
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Mo 17.01.2005 | | Autor: | kuroiya |
Hallo!
Zur Diskussion von Funktionen f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] hilft dir wohl folgender Satz:
Es sei p := [mm] (x_{0},y_{0} [/mm] ein nichtentarteter kritischer Punkt der Funktion f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] , es seien [mm] f_{xx}, f_{xy}, f_{yy} [/mm] die an der Stelle p evaluierten zweiten partiellen Ableitungen von f und det H = [mm] f_{xx}f_{yy} [/mm] - [mm] (f_{xy})^{2} [/mm] die Determinante der Hesseschen Form an der Stelle p. Dann besitzt f an der Stelle p im Fall
a) det H > 0 und [mm] f_{xx}> [/mm] 0 ein lokales Minimum,
b) det H > 0 und [mm] f_{xx}< [/mm] 0 ein lokales Maximum,
c) det H < 0 einen Sattelpunkt
(so gesehen in Blatter: Analysis II, S. 93)
ich hoffe, das hilft dir weiter! Kritische Punkte sind dort, wo grad f(p) = 0. Ist die Determinante der Hesseschen Form in p 0, so ist der kritische Punkt entartet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Ali |
Danke den größten Teil hab ich verstanden. Nur eine Sache noch, und zwar hierzu " det H = $ [mm] f_{xx}f_{yy} [/mm] $ - $ [mm] (f_{xy})^{2} [/mm] $ " . Muss ich die Ableitungen verketten oder multiplizieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mo 17.01.2005 | | Autor: | bigj26 |
Hi...
du multiplizierst einfach [mm] f_{xx}\*f_{yy} [/mm] - [mm] f_{xy}^2
[/mm]
die Determinante muß dann halt > 0 sein, sowie muß [mm] f_{xx} [/mm] > 0 sein, damit die Matrix "positiv definit" ist und ein Minimum existiert, bzw. muß [mm] f_{xx} [/mm] < 0 sein, det H > 0 , damit deine Matrix negativ definit ist und ein Maximum vorliegt... für det H < 0 ist sie "indefinit"
Bis dann
bigj26
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