LGS mit transponierter Matrix < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:08 Do 14.01.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in R^{m x n} [/mm] und [mm] b\in R^{m}. [/mm] Zeigen Sie:
Ist das LGS Ax = b lösbar, so ist auch das LGS [mm] A^{t}Ax [/mm] = [mm] A^{t}b [/mm] lösbar und die beiden Lösungsmengen stimmen überein.
Hinweis: Führen Sie das Problem auf die zugehörigen homogenen GLeichungssysteme zurück.
|
Hi, bin hier echt ratlos.
Ich weiß, dass durch die Tatsache, dass AX = b lösbar ist, wir wissen, das Rang(A) = Rang(A|b).
Die homogenen Gleichungssysteme wären ja [mm] Ax_{h}^{(1)} [/mm] = 0 und [mm] A^{t}Ax_{h}^{(2)} [/mm] = 0. Daraus folg doch:
[mm] Ax_{h}^{(1)} [/mm] = [mm] A^{t}Ax_{h}^{(2)} [/mm] <=> [mm] Ax_{h}^{(1)} [/mm] - [mm] A^{t}Ax_{h}^{(2)} [/mm] = 0
So, was folg nun hieraus? Oder habe ich total den falschen Weg eingeschlagen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo
> Sei A [mm]\in R^{m x n}[/mm] und [mm]b\in R^{m}.[/mm] Zeigen Sie:
> Ist das LGS Ax = b lösbar, so ist auch das LGS [mm]A^{t}Ax[/mm] =
> [mm]A^{t}b[/mm] lösbar und die beiden Lösungsmengen stimmen
> überein.
> Hinweis: Führen Sie das Problem auf die zugehörigen
> homogenen GLeichungssysteme zurück.
>
> Hi, bin hier echt ratlos.
> Ich weiß, dass durch die Tatsache, dass AX = b lösbar
> ist, wir wissen, das Rang(A) = Rang(A|b).
> Und dadurch das es ein Inverses zu A gibt
Das glaub ich nicht! A muss doch nicht einmal quadratisch sein!
Gruß korbinian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Do 14.01.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Ja das mit dem Inversen ist mir da ausversehen reingerutscht, die Zeile gehört da nicht hin, mit Inversen hat die Aufgabe glaube ich nichts zu tun.
|
|
|
| |
|
> Sei A [mm]\in R^{m x n}[/mm] und [mm]b\in R^{m}.[/mm] Zeigen Sie:
> Ist das LGS Ax = b lösbar, so ist auch das LGS [mm]A^{t}Ax[/mm] =
> [mm]A^{t}b[/mm] lösbar und die beiden Lösungsmengen stimmen
> überein.
> Hinweis: Führen Sie das Problem auf die zugehörigen
> homogenen GLeichungssysteme zurück.
>
> Hi, bin hier echt ratlos.
> Ich weiß, dass durch die Tatsache, dass AX = b lösbar
> ist, wir wissen, das Rang(A) = Rang(A|b).
Hallo,
vor allem wissen wir, daß es ein v gibt mit Av=b.
Du kannst zeigen, daß dieses v auch eine Lösung von [mm]A^{t}Ax[/mm] = [mm]A^{t}b[/mm] ist.
Damit hast Du schonmal die Lösbarkeit von [mm]A^{t}Ax[/mm] = [mm]A^{t}b[/mm]
(Und wenn Du mittelscharf nachdenkst, wird Dir auffallen, daß jede Lösung von Ax=b auch eine von [mm] A^{t}Ax=A^{t}b [/mm] ist.)
Du weißt, daß man jede Lösung x dieser Gleichung schreiben kann als [mm] x=v+x_h, [/mm] wobei [mm] x_h [/mm] eine Lösung von [mm]A^{t}Ax[/mm] =0 sein soll.
Nun mußt Du zeigen, daß jede Lösung [mm] x_h [/mm] von [mm]A^{t}Ax[/mm] =0 auch eine Lösung von Ax=0 ist - das ist der Dreh- und Angelpunkt der Aufgabe.
Gruß v. Angela
>
> Die homogenen Gleichungssysteme wären ja [mm]Ax_{h}^{(1)}[/mm] = 0
> und [mm]A^{t}Ax_{h}^{(2)}[/mm] = 0. Daraus folg doch:
> [mm]Ax_{h}^{(1)}[/mm] = [mm]A^{t}Ax_{h}^{(2)}[/mm] <=> [mm]Ax_{h}^{(1)}[/mm] -
> [mm]A^{t}Ax_{h}^{(2)}[/mm] = 0
> So, was folg nun hieraus? Oder habe ich total den falschen
> Weg eingeschlagen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Das Zeigen, dass Ax = b und [mm] A^{t}Ax [/mm] = [mm] A^{t}b [/mm] die selbe Lsg. v haben ist ja mein Problem. Eigentlich ist es ja logisch, dass wenn man beide Seiten von Ax = b mit [mm] A^{t} [/mm] von links multipliziert, die Gleichung sich nicht verändern, aber wie zeige ich das mathematisch richtig?
Ich weiß nicht wie ich von Ax = b nach [mm] A^{t}Ax [/mm] = [mm] A^{t}b [/mm] kommen soll, eigentlich müsste man ja nur Ax = b nach x umformen und in [mm] A^{t}Ax [/mm] = [mm] A^{t}b
[/mm]
einsetzen..wie forme ich aber nach x um?
|
|
|
| |
|
> Das Zeigen, dass Ax = b und [mm]A^{t}Ax[/mm] = [mm]A^{t}b[/mm] die selbe Lsg.
> v haben ist ja mein Problem.
Hallo,
das ist aber echt das kleinere der Probleme, die man bei dieser Aufgabe haben kann.
Sei v eine Lösung von Ax=b.
Dann ist Av=b.
Und nun rechne [mm] A^{t}Av [/mm] aus! [mm] A^{t}Av= [/mm] ???
Gruß v. Angela
Eigentlich ist es ja logisch,
> dass wenn man beide Seiten von Ax = b mit [mm]A^{t}[/mm] von links
> multipliziert, die Gleichung sich nicht verändern, aber
> wie zeige ich das mathematisch richtig?
> Ich weiß nicht wie ich von Ax = b nach [mm]A^{t}Ax[/mm] = [mm]A^{t}b[/mm]
> kommen soll, eigentlich müsste man ja nur Ax = b nach x
> umformen und in [mm]A^{t}Ax[/mm] = [mm]A^{t}b[/mm]
> einsetzen..wie forme ich aber nach x um?
|
|
|
| |
|
Sei v eine Lösung von Ax = b, dann gilt: Av = b => einsetzen von v in [mm] A^{t}Ax [/mm] ergibt: [mm] A^{t}Av [/mm] = [mm] A^{t}(Av) [/mm] = [mm] A^{t}b. [/mm] => Daraus folg, dass v spezielle Lsg. von Ax=b und [mm] A^{t}Ax [/mm] = [mm] A^{t}b [/mm] ist. So müsste es stimmen, fürs erste..oder?
Sei nun [mm] x_{h} [/mm] = h : Lsg. des homogenen Gleichungssystems
=> Ah=0
=> h in [mm] A^{t}Ax=0 [/mm] einsetzten
[mm] =>A^{t}Ah=0
[/mm]
[mm] =>A^{t}(Ah)=0
[/mm]
[mm] =>A^{t}0=0 [/mm] <=>0=0
D.h. sowohl die speziellen als auch die homogenen Lsg. [mm] x_{s} [/mm] und [mm] x_{h} [/mm] sind für beide Gleichungen Ax=b und [mm] A^{t}Ax=A^{t}b [/mm] gleich. Daraus ergibt sich für beide Gleichungen die Lösungsmenge
[mm] x_{s}+k*x_{h} [/mm] mit [mm] k\in [/mm] K
Stimmt das so in etwa?
|
|
|
| |
|
> Sei v eine Lösung von Ax = b, dann gilt: Av = b =>
> einsetzen von v in [mm]A^{t}Ax[/mm] ergibt: [mm]A^{t}Av[/mm] = [mm]A^{t}(Av)[/mm] =
> [mm]A^{t}b.[/mm] => Daraus folg, dass v spezielle Lsg. von Ax=b und
> [mm]A^{t}Ax[/mm] = [mm]A^{t}b[/mm] ist. So müsste es stimmen, fürs
> erste..oder?
Hallo,
ja, so stimmt das.
> Sei nun [mm]x_{h}[/mm] = h : Lsg. des homogenen Gleichungssystems
> => Ah=0
> => h in [mm]A^{t}Ax=0[/mm] einsetzten
Setze es in [mm] A^{t}Ax [/mm] ein und guck, was rauskommt.
[mm] A^{t}Ah=A^{t}0=0,
[/mm]
also ist h [mm] \in [/mm] Kern [mm] (A^{t}A).
[/mm]
Damit hast Du jetzt, daß jede Lösung der Gleichung Ax=0 auch eine von [mm] A^{t}Ax=0 [/mm] ist.
Nun brauchen wir aber noch die umgekehrte Richtung.
Dafür ist mir leider noch nichts Bequemes eingefallen.
Ich würde vielleicht mal mit [mm] A:=(a_1, ...,a_n) [/mm] mit [mm] a_i\in \IR^m [/mm] versuchen, aber zu Indexgewurschtel fehlte mir bisher die Lust. ich weiß also nicht, ob es so geht.
Eine andere Idee wäre vielleicht die geschickte Zerlegung von A in A=P*B, wobei B die Zelenstufenform und P invertierbar ist, ich hab's aber auch noch nicht probiert.
Gruß v. Angela
> [mm]=>A^{t}Ah=0[/mm]
> [mm]=>A^{t}(Ah)=0[/mm]
> [mm]=>A^{t}0=0[/mm] <=>0=0
> D.h. sowohl die speziellen als auch die homogenen Lsg.
> [mm]x_{s}[/mm] und [mm]x_{h}[/mm] sind für beide Gleichungen Ax=b und
> [mm]A^{t}Ax=A^{t}b[/mm] gleich. Daraus ergibt sich für beide
> Gleichungen die Lösungsmenge
> [mm]x_{s}+k*x_{h}[/mm] mit [mm]k\in[/mm] K
>
> Stimmt das so in etwa?
|
|
|
| |
|
Wieso muss man denn die andere Richtung überhaupt zeigen. Es ist doch eine Gleichung, da reicht doch eine Richtung? Oder muss man jetzt wirklich das selbe von [mm] A^{t}Ax =A^{t}b [/mm] nach Ax = b zeigen?
|
|
|
| |
|
> Wieso muss man denn die andere Richtung überhaupt zeigen.
> Es ist doch eine Gleichung, da reicht doch eine Richtung?
Hallo,
ich sehe 2 Gleichungen...
> Oder muss man jetzt wirklich das selbe von [mm]A^{t}Ax =A^{t}b[/mm]
> nach Ax = b zeigen?
Ja. Bisher ist bloß gezeigt: Ax=b ==> [mm][mm] A^{t}Ax =A^{t}b
[/mm]
Nun brauchen wir noch:
Ax=b sei lösbar, und es sei [mm] A^{t}Av=A^{t}v [/mm] ==> Av=b
Gruß v. Angela
P.S.: Ax=b lösbar: dann ist b eine Linearkombination der Spalten von A. Könnte auch nützlich sein
|
|
|
| |
|
Hi,
>Ax=b sei lösbar, und es sei [mm] A^{t}Av=A^{t}v [/mm] ==> Av=b
Wieso [mm] A^{t}Av=A^{t}v? [/mm] Du meinst doch [mm] A^{t}Av=A^{t}b, [/mm] oder?
Ginge dass nicht genauso:
Sei v gegeben durch: [mm] A^{t}Av=A^{t}b, [/mm] daraus folg
Av = b <=> A [mm] (A^{t}b) [/mm] = b <=> [mm] (A^{t}A) [/mm] b = b <=> b = b Somit wäre doch für beide Richtungen gezeigt, dass eine Lösung von der 1. Gleichung immer Lösung der 2. Gleichung ist, nicht wahr?
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> >Ax=b sei lösbar, und es sei [mm]A^{t}Av=A^{t}v[/mm] ==> Av=b
>
> Wieso [mm]A^{t}Av=A^{t}v?[/mm] Du meinst doch [mm]A^{t}Av=A^{t}b,[/mm] oder?
Hallo,
oh ja, natürlich.
> Ginge dass nicht genauso:
> Sei v gegeben durch: [mm]A^{t}Av=A^{t}b,[/mm] daraus folg Av = b
Wie soll das folgen?
Schau: es ist [mm] \pmat {1&2\\3&6}*\vektor{1\\0}= \vektor{1\\3}= \pmat {1&2\\3&6}\vektor{0\\\bruch{1}{2}},
[/mm]
aber [mm] \vektor{1\\0}\not=\vektor{0\\\bruch{1}{2}}.
[/mm]
Dir ist klar, daß die transponierte Matrix i.a. nicht die inverse ist?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hey,
ach mist! Ja habe da wohl was falsch gedacht. Ok jetzt steh ich bisschen auf dem Schlauch ... für die Rückrichtung muss ich ja von einem Vektor v ausgehen, der die Gleichung [mm] A^{t}Ax=A^{t}b [/mm] löst. Und anschließend zeigen, dass dieses v auch die Gleichung Ax=b löst. Meine einzige Idee wäre die Gleichung [mm] A^{t}Ax=A^{t}b [/mm] nach x umzuformen und sie in Ax=b einzusetzen.Aber ob sowas mit Matrizen geht bzw wie ich das machen kann ist mir schleierhaft...Hilfe...
|
|
|
| |
|
> Hey,
>
> ach mist! Ja habe da wohl was falsch gedacht.
Hallo,
gut, daß Du es gemerkt hast. Wieder was gelernt!
> Ok jetzt steh
> ich bisschen auf dem Schlauch ... für die Rückrichtung
> muss ich ja von einem Vektor v ausgehen, der die Gleichung
> [mm]A^{t}Ax=A^{t}b[/mm] löst.
Und zusätzlich davon, daß Ax=b überhaupt lösbar ist!
Aus [mm] A^{t}Ax=A^{t}b [/mm] allein folgt nämlich i.a. nicht, daß Ax=b
> Und anschließend zeigen, dass dieses
> v auch die Gleichung Ax=b löst.
Ja.
> Meine einzige Idee wäre
> die Gleichung [mm]A^{t}Ax=A^{t}b[/mm] nach x umzuformen
Die einfach nach x aufzulösen, klappt i.a. nicht.
> und sie in
> Ax=b einzusetzen.Aber ob sowas mit Matrizen geht bzw wie
> ich das machen kann ist mir schleierhaft...Hilfe...
Ich hatte ja im Laufe dieses Threads ein paar Ideen aufgeschrieben dazu, wie man es versuchen könnte.
Hast Du die probiert? Ergebnisse? Sackgassen?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Also irgendwie gehts grad gar nicht voran...hab jetzt die drei Tipps von dir ausprobiert aber sowohl die Zerlegung von A in Zeilestufen- und invertierbare Matrix als auch das b eine Linearkombi. von A*x ist, bringen mich nicht weiter.. mein Problem ist ich weiß einfach nicht wo ich ansetzen soll.
Meine Vorraussetzungen für den Rückbeweis sind ja das v [mm] A^{t}Ax=A^{t}b [/mm] löst und Ax=b lösbar ist. wie überführ ich jetzt aber dieses v in Ax=b?
|
|
|
| |
|
Hallo,
gerade fällt es mir wie Schuppen von den Augen - die Sache ist ganz einfach!
Wir waren ja irgendwann so weit, daß wir zeigen wollten, daß aus [mm] A^{t}Ax=0 [/mm] folgt, daß auch Ax=0 ist:
[mm] A^{t}Ax=0 [/mm] (Nullvektor)
==>
[mm] x^{t}A^{t}Ax=x^{t}0=0 [/mm] (Zahl)
==>
[mm] (Ax)^{t}Ax=0
[/mm]
==> [mm] \parallel Ax\parallel [/mm] =0
==> Ax =0.
Jetzt haben wir, zusammen mit dem, was wir vorher schon überlegt hatten, daß die Lösungen von [mm] A^{t}Ax=0 [/mm] und Ax=0 gleich sind.
Das war's, was fehlte, und nun solltest Du alles schön zusammensetzen können.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi,
kannst du mir den Schritt:
[mm] (Ax)^{t}Ax=0 [/mm]
==> ||Ax|| = 0
Was bedeutet das mit den Betragsstrichen?
Ich dachte man muss noch zeigen dass die Lösung v von [mm] A^{t}Ax=A^{t}b [/mm] auch eine Lösung von Ax=b ist...also sprich die Rückrichtung?Wie haben ja bis jetzt nur die Richtung
Ax=b => [mm] A^{t}Ax=A^{t}b [/mm] und
Ax=0 [mm] =>A^{t}Ax=0
[/mm]
gezeigt und jetzt mit deinem letzten Post auch noch
[mm] A^{t}Ax=0 [/mm] => Ax=0.
Somit fehlt noch
[mm] A^{t}Ax=A^{t}b [/mm] => Ax=b,
wenn ich das richtig verstanden haben .
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> kannst du mir den Schritt:
> [mm](Ax)^{t}Ax=0[/mm]
>
> ==> ||Ax|| = 0
> Was bedeutet das mit den Betragsstrichen?
>
> Ich dachte man muss noch zeigen dass die Lösung v von
> [mm]A^{t}Ax=A^{t}b[/mm] auch eine Lösung von Ax=b ist...also sprich
> die Rückrichtung?
Hallo,
von vorn - Du mußt das genau durchdenken und in allen Einzelheiten ausführen für die Abgabe.
Wir hatten zunächst gezeigt, daß jede Lösung von Ax=b auch eine von [mm] A^{t}Ax=A^{t}b [/mm] ist, daß also [mm] L_{Ax=b}\subset [/mm] L.
Nun fehlte noch: falls Ax=b lösbar ist, ist [mm] L\subsetq L_{Ax=b}.
[/mm]
Sei v eine Lösung von Ax=b, also Av=b.
Dieses v löst auch [mm] A^{t}Ax=A^{t}b.
[/mm]
Wir wissen daß man die Lösungen x von inhomogenen Systemen schreiben kann als [mm] x=x_s+x_h [/mm] ("spezielle + homogene Lsg.")
Eine spezielle Lösung von [mm] A^{t}Ax=A^{t}b [/mm] haben wir, nämlich v. Also haben die Lösungen dieser Gleichung die Gestalt [mm] x=v+x_h.
[/mm]
Der wesentliche Gedanke: wir zeigen nun, daß dieses [mm] x_h [/mm] auch eine Lösung von Ax=b ist. Damit wissen wir dann nämlich, daß [mm] v+x_h [/mm] auch Ax=b löst, haben also
[mm] L\subsetq L_{Ax=b} [/mm] gezeigt, insgesamt also für lösbares System Ax=b: L= [mm] L_{Ax=b}.
[/mm]
Nun zum Beweis dafür, daß für [mm] x_h [/mm] mit [mm] A^{t}Ax_h=0 [/mm] auch [mm] Ax_h=0 [/mm] ist:
[mm] A^{t}Ax_h=0
[/mm]
==> (ich lasse die Indizes weg)
[mm] x^{t}A^{t}Ax=x^{t}*0
[/mm]
==>
[mm] (Ax)^{t}(Ax)=0
[/mm]
Überlege Dir jetzt, daß auf der rechten Seite das Quadrat des Betrages (euklidische Norm, Vektorlänge) des Vektors Ax steht.
Es ist also [mm] \parallel Ax\parallel [/mm] ^2=0
==> [mm] \parallel Ax\parallel [/mm] =0.
Tja, und ein vektor, der die Länge 0 hat, kann nunmal kein anderer sein als der Nullvektor.
Also ist Ax=0,
womit wir gezeigt haben, daß jede Lösung von [mm] A^{t}Ax_h=0 [/mm] auch eine von Ax=0 ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Also im Endeffekt haben wir gezeigt, dass sowohl die spezielle als auch die homogene Lösung bei beiden Gleichungen übereinstimmen und sie deswegen die selbe Lösungsmenge haben. Stimmts?
|
|
|
| |
|
Hallo,
ja, stimmt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Mo 18.01.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Vielen Dank nochmal! ..ich bin ma gespannt was man mir als Musterlösung später gibt.
|
|
|
|
