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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Mo 11.07.2022 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Sei [mm] $f:\mathbb{C}\setminus\{2,i\} \to \mathbb{C}, [/mm] z [mm] \mapsto \frac{2-i}{(z-2)(z-i)}$ [/mm]
Entwickeln Sie $f$ um $0$ in eine Laurent Reihe, die in [mm] $G=K_{1,2}(0)$ [/mm] konvergiert. |
Hallo,
Die LR soll auf [mm] $K_{1,2}(0):=\{z \in \mathbb{C}| 1<|z|<2 \}$
[/mm]
Deshalb mache ich zunächst eine Partialbruchzerlegung mit
[mm] $\frac{2-i}{(z-2)(z-i)}=\frac{A}{(z-2)}+\frac{Bz+C}{(z-i)}$
[/mm]
Dabei habe ich für $A=1,B=0$ und $C=-1$ folgende Zerlegung raus
[mm] $\frac{2-i}{(z-2)(z-i)}=\frac{1}{(z-2)}-\frac{1}{(z-i)}$
[/mm]
Entwickle ich die LReihe nun für [mm] $\frac{1}{(z-2)}$ [/mm] kommt folgendes raus
[mm] $\frac{1}{(z-2)}=\frac{1}{(z-1)-1}=-\frac{1}{1-(z-1)}=-1\cdot \frac{1}{1-\frac{(z-1)}{1}}= [/mm] -1 [mm] \cdot \sum \limits_{k=0}^{\infty}(z-1)^k$
[/mm]
ist das soweit korrekt?
Bei [mm] $-\frac{1}{(z-i)}$ [/mm] habe ich bisher noch keine Idee :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Mo 11.07.2022 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\mathbb{C}\setminus\{2,i\} \to \mathbb{C}, z \mapsto \frac{2-i}{(z-2)(z-i)}[/mm]
>
> Entwickeln Sie [mm]f[/mm] um [mm]0[/mm] in eine Laurent Reihe, die in
> [mm]G=K_{1,2}(0)[/mm] konvergiert.
> Hallo,
>
> Die LR soll auf [mm]K_{1,2}(0):=\{z \in \mathbb{C}| 1<|z|<2 \}[/mm]
>
> Deshalb mache ich zunächst eine Partialbruchzerlegung mit
>
> [mm]\frac{2-i}{(z-2)(z-i)}=\frac{A}{(z-2)}+\frac{Bz+C}{(z-i)}[/mm]
>
> Dabei habe ich für [mm]A=1,B=0[/mm] und [mm]C=-1[/mm] folgende Zerlegung
> raus
>
> [mm]\frac{2-i}{(z-2)(z-i)}=\frac{1}{(z-2)}-\frac{1}{(z-i)}[/mm]
>
> Entwickle ich die LReihe nun für [mm]\frac{1}{(z-2)}[/mm] kommt
> folgendes raus
>
> [mm]\frac{1}{(z-2)}=\frac{1}{(z-1)-1}=-\frac{1}{1-(z-1)}=-1\cdot \frac{1}{1-\frac{(z-1)}{1}}= -1 \cdot \sum \limits_{k=0}^{\infty}(z-1)^k[/mm]
>
> ist das soweit korrekt?
Falsch ist das nicht, bringt aber nix, denn Deine Reihe konvergiert für $|z-1|<1$, also in der Kreisscheibe um 1 mit radius 1.
>
> Bei [mm]-\frac{1}{(z-i)}[/mm] habe ich bisher noch keine Idee :/
Tipps:
Es ist
[mm] \frac{1}{z-1}= -\frac{1}{2} \frac{1}{1-z/2}
[/mm]
und
[mm] \frac{1}{z-i}= \frac{1}{z} \frac{1}{1-i/z}.
[/mm]
Schreibe beide rechten Seite als geometrische Reihe un addiere die Resultate.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mo 11.07.2022 | | Autor: | nkln |
Hallo Fred,
dank dir für deine Antwort.
Ist es dann also
$ [mm] \frac{1}{z-1}= -\frac{1}{2} \frac{1}{1-z/2}= -\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k [/mm] $
und
$ [mm] \frac{1}{z-i}= \frac{1}{z} \frac{1}{1-i/z}= \frac{1}{z} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{i}{z})^k=\frac{1}{z} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-k }= \summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) } [/mm] $
also $f(z)= [mm] -\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k+ \summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) } [/mm] $
Dabei ist der Haupteil gegeben durch [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) }$ [/mm] und der Nebenteil durch [mm] $-\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k$
[/mm]
so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mo 11.07.2022 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> dank dir für deine Antwort.
>
> Ist es dann also
>
> [mm]\frac{1}{z-1}= -\frac{1}{2} \frac{1}{1-z/2}= -\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k [/mm]
>
> und
>
> [mm]\frac{1}{z-i}= \frac{1}{z} \frac{1}{1-i/z}= \frac{1}{z} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{i}{z})^k=\frac{1}{z} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-k }= \summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) }[/mm]
>
> also [mm]f(z)= -\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k+ \summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) }[/mm]
>
> Dabei ist der Haupteil gegeben durch
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) }[/mm] und der
> Nebenteil durch [mm]-\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k[/mm]
>
> so richtig?
Alles richtig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mo 11.07.2022 | | Autor: | nkln |
ist auch die Indize Verschiebung bei [mm] $\frac{1}{z} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-k }= \summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) } [/mm] $
korrekt?
Dank dir für deine Hilfe!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Mo 11.07.2022 | | Autor: | Fulla |
> ist auch die Indize Verschiebung bei [mm]\frac{1}{z} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-k }= \summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) }[/mm]
>
> korrekt?
>
> Dank dir für deine Hilfe!!
Hallo nkln,
nein, das ist auch gar keine Indexverschiebung...
Richtig muss es heißen: [mm] \frac{1}{z} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-k }= \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) } [/mm]
Lieben Gruß
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 11.07.2022 | | Autor: | nkln |
Aber es bleibt dann bei
$ f(z)= [mm] -\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k+ \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) } [/mm] $
oder muss ich die finale Darstellung verändern?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mo 11.07.2022 | | Autor: | fred97 |
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> Aber es bleibt dann bei
> [mm]f(z)= -\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k+ \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) }[/mm]
>
> oder muss ich die finale Darstellung verändern?
Alles bestens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Mo 11.07.2022 | | Autor: | nkln |
Danke euch allen, wirklich danke sehr!
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