Leeres Produkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Di 31.01.2023 | | Autor: | rosimosi |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | \prod_{k=0}^{-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)} und \prod_{k=-1}^{-1}i
Beides sind leere Produkte, aber warum? |
Hallo,
ich musste ein Induktionsbeweis für die folgende Gleichung durchführen :
P_{z}(n,T)= \frac{P_{0}(n-z,T)}{P_{0}(n-z,n)}\cdot \prod_{k=0}^{z-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)} Für alle $n \in \lbrace{0,..., T\rbrace$ und $z \in \lbrace{0,..., n\rbrace $.
Induktionsanfang für $n=0$ und $z=0$ ist:
P_{0}(0,T)= \frac{P_{0}(0,T)}{P_{0}(0,0)}\cdot\prod_{k=0}^{-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)} = \frac{P_{0}(0,T)}{P_{0}(0,0)}\cdot 1 = P_{0}(0,T)
ich musste hier erklären warum ein leeres Produkt vorliegt.
Ich hatte aufgeschrieben, dass der Startwert größer als der Endwert sei und deswegen ein leeres Produkt vorliege.
Der Professor hat mir dann aber das folgende Produkt aufgeschrieben und gemeint was das ist:
\prod_{k=-1}^{-1}i
Ich verstehe den Bezug zu meiner Rechnung nicht.
Meine Überlegung:
Meint er vielleicht, dass der Wert des Produkts nicht in der Wertemenge liegt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]\prod_{k=0}^{-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)}[/mm] und
> [mm]\prod_{k=-1}^{-1}i[/mm]
>
> Beides sind leere Produkte, aber warum?
> Hallo,
>
> ich musste ein Induktionsbeweis für die folgende Gleichung
> durchführen :
> [mm]P_{z}(n,T)= \frac{P_{0}(n-z,T)}{P_{0}(n-z,n)}\cdot \prod_{k=0}^{z-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)}[/mm]
> Für alle [mm]n \in \lbrace{0,..., T\rbrace[/mm] und [mm]z \in \lbrace{0,..., n\rbrace [/mm].
>
> Induktionsanfang für [mm]n=0[/mm] und [mm]z=0[/mm] ist:
> [mm]P_{0}(0,T)= \frac{P_{0}(0,T)}{P_{0}(0,0)}\cdot\prod_{k=0}^{-1}\frac{h(T-n+k)}{h(k)}[/mm]
> = [mm]\frac{P_{0}(0,T)}{P_{0}(0,0)}\cdot[/mm] 1 = [mm]P_{0}(0,T)[/mm]
>
> ich musste hier erklären warum ein leeres Produkt
> vorliegt.
> Ich hatte aufgeschrieben, dass der Startwert größer als
> der Endwert sei und deswegen ein leeres Produkt vorliege.
Das ist nicht unbedingt richtig. Beim Summen- und beim Produktzeichen wird der Index immer aufsteigend mit ganzen Zahlen gezählt. Das ist eine Vereinbarung. (Allerdings gibt es noch andere Darstellungen wie z.B. [mm] \prod_{k
Ob im obigen Fall auch der Wert 1 sein soll, weiß ich nicht. Das gibt Sinn, wenn zu dem davor stehenden Bruch kein weiterer Faktor (oder eben der Faktor 1) dazu kommen soll.
>
> Der Professor hat mir dann aber das folgende Produkt
> aufgeschrieben und gemeint was das ist:
> [mm]\prod_{k=-1}^{-1}i[/mm]
>
> Ich verstehe den Bezug zu meiner Rechnung nicht.
>
> Meine Überlegung:
> Meint er vielleicht, dass der Wert des Produkts nicht in
> der Wertemenge liegt?
>
Hier ist die Sache klar: Es kommt genau ein "Faktor" vor, der für k = -1. Der heißt aber i. Also kommt i heraus. Vielleicht sollst du darauf kommen, dass dann [mm] \prod_{k=0}^{-1}i [/mm] den Wert 1 haben soll - falls das überhaupt Sinn gibt.
Man könnte nun fragen, was dann [mm]\prod_{k=2}^{-1}i[/mm] oder (-4)! wäre. Ein weites Feld...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Do 02.02.2023 | | Autor: | rosimosi |
| Aufgabe | | Was wäre wenn $ [mm] \prod_{-i=-1}^{-1}i [/mm] $ stehen würde? |
Hallo,
> Hier ist die Sache klar: Es kommt genau ein "Faktor" vor,
> der für k = -1. Der heißt aber i. Also kommt i heraus.
> Vielleicht sollst du darauf kommen, dass dann
> [mm]\prod_{k=0}^{-1}i[/mm] den Wert 1 haben soll - falls das
> überhaupt Sinn gibt.
>
> Man könnte nun fragen, was dann [mm]\prod_{k=2}^{-1}i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
oder
> (-4)! wäre. Ein weites Feld...
>
Was wäre wenn $ \prod_{-i=-1}^{-1}i $ stehen würde?
Vielleicht hat sich der Prof verschrieben. :/
Dann würde zwar ein negativer Wert herauskommen, der nicht in den folgenden Bereichen liegt,
> Für alle $ n \in \lbrace{0,..., T\rbrace $ und $ z \in \lbrace{0,..., n\rbrace $.
Aber dann könnte ich wenigstens sagen, dass das Ergebnis des Produkts nicht in der Definitionsmenge liegt.
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> Was wäre wenn [mm]\prod_{-i=-1}^{-1}i[/mm] stehen würde?
> >
>
> Was wäre wenn [mm]\prod_{-i=-1}^{-1}i[/mm] stehen würde?
Dann gäbe es nur einen Faktor mit -i=-1, also i=1, das Ergebnis wäre 1.
> Vielleicht hat sich der Prof verschrieben. :/
> Dann würde zwar ein negativer Wert herauskommen, der
> nicht in den folgenden Bereichen liegt,
> > Für alle [mm]n \in \lbrace{0,..., T\rbrace[/mm] und [mm]z \in \lbrace{0,..., n\rbrace [/mm].
> Aber dann könnte ich wenigstens sagen, dass das Ergebnis
> des Produkts nicht in der Definitionsmenge liegt.
Ich vermute Folgendes:
Vermutlich hast du dem Professor gesagt, dass das Produkt "leer" ist, weil -1 kleiner als 0 ist. Gemeint hast du dabei, wie du schreibst, dass der Endwert kleiner als der Startwert ist, und der Prof hat geglaubt, dass du meinst, der Endwert dürfte nicht kleiner als 0, also nicht negativ sein. Deshalb dann seine Frage nach [mm] \prod_{k=-1}^{-1}i, [/mm] wobei dir dann klar werden soll, dass der Endwert durchaus nagativ sein kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 05.02.2023 | | Autor: | rosimosi |
Hallo,
Ich habe den Prof nochmal angeschrieben und gefragt, was er genau damit meint. Er schrieb mir, dass er sich verschrieben habe und eigentlich [mm]\prod_{i=-1}^{-1}i,[/mm] meint.
Aber vermutlich, meint er genau das was Sie vermutet haben.
>
> Ich vermute Folgendes:
>
> Vermutlich hast du dem Professor gesagt, dass das Produkt
> "leer" ist, weil -1 kleiner als 0 ist. Gemeint hast du
> dabei, wie du schreibst, dass der Endwert kleiner als der
> Startwert ist, und der Prof hat geglaubt, dass du meinst,
> der Endwert dürfte nicht kleiner als 0, also nicht negativ
> sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Fr 03.02.2023 | | Autor: | fred97 |
> Was wäre wenn [mm]\prod_{-i=-1}^{-1}i[/mm] stehen würde?
> Hallo,
>
> > Hier ist die Sache klar: Es kommt genau ein "Faktor" vor,
> > der für k = -1. Der heißt aber i. Also kommt i heraus.
> > Vielleicht sollst du darauf kommen, dass dann
> > [mm]\prod_{k=0}^{-1}i[/mm] den Wert 1 haben soll - falls das
> > überhaupt Sinn gibt.
> >
> > Man könnte nun fragen, was dann [mm]\prod_{k=2}^{-1}i[/mm] oder
> > (-4)! wäre. Ein weites Feld...
> >
>
> Was wäre wenn [mm]\prod_{-i=-1}^{-1}i[/mm] stehen würde?
> Vielleicht hat sich der Prof verschrieben. :/
> Dann würde zwar ein negativer Wert herauskommen, der
> nicht in den folgenden Bereichen liegt,
> > Für alle [mm]n \in \lbrace{0,..., T\rbrace[/mm] und [mm]z \in \lbrace{0,..., n\rbrace [/mm].
> Aber dann könnte ich wenigstens sagen, dass das Ergebnis
> des Produkts nicht in der Definitionsmenge liegt.
>
Zur Klärung:
1. [mm]\prod_{-i=-1}^{-1}i=\prod_{i=1}^{-1}i=1 \cdot 0 \cdot (-1)=0.[/mm] .
2. Setzt man [mm] $i_k:=i$ [/mm] für $k [mm] \in \IZ$, [/mm] so ist
[mm]\prod_{k=2}^{-1}i=i_2 \cdot i_1 \cdot i_0 \cdot i_{-1}=i^4.[/mm] .
3. Setzt man [mm] $i_k:=i$ [/mm] für $k [mm] \in \IZ$, [/mm] so ist
[mm]\prod_{k=-1}^{-1}i=i_{-1}=i.[/mm] .
Noch ein Vergleich mit dem Summenzeichen. Ist [mm] j_n=j [/mm] für $n [mm] \in \IN$, [/mm] so ist
[mm] $\sum_{n=2}^{4}j=j_2+j_3+j_4=3j.$
[/mm]
Was Dein Prof. gesagt, geglaubt oder sonst was hat, wissen wir nicht. Jedenfalls ist keines der drei obigen Produkte ein leeres Produkt.
Was ist ein leeres Produkt ? Das:
ein leeres Produkt ist der Sonderfall eines Produktes mit null Faktoren. Ihm wird in der Regel der Wert Eins zugewiesen.
Beispiel: [mm] \prod_{ j \in \emptyset}2^j=1.
[/mm]
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> > Was wäre wenn [mm]\prod_{-i=-1}^{-1}i[/mm] stehen würde?
> > Hallo,
> >
> > > Hier ist die Sache klar: Es kommt genau ein "Faktor" vor,
> > > der für k = -1. Der heißt aber i. Also kommt i heraus.
> > > Vielleicht sollst du darauf kommen, dass dann
> > > [mm]\prod_{k=0}^{-1}i[/mm] den Wert 1 haben soll - falls das
> > > überhaupt Sinn gibt.
> > >
> > > Man könnte nun fragen, was dann [mm]\prod_{k=2}^{-1}i[/mm] oder
> > > (-4)! wäre. Ein weites Feld...
> > >
> >
> > Was wäre wenn [mm]\prod_{-i=-1}^{-1}i[/mm] stehen würde?
> > Vielleicht hat sich der Prof verschrieben. :/
> > Dann würde zwar ein negativer Wert herauskommen, der
> > nicht in den folgenden Bereichen liegt,
> > > Für alle [mm]n \in \lbrace{0,..., T\rbrace[/mm] und [mm]z \in \lbrace{0,..., n\rbrace [/mm].
> > Aber dann könnte ich wenigstens sagen, dass das Ergebnis
> > des Produkts nicht in der Definitionsmenge liegt.
> >
>
>
> Zur Klärung:
>
> 1. [mm]\prod_{-i=-1}^{-1}i=\prod_{i=1}^{-1}i=1 \cdot 0 \cdot (-1)=0.[/mm]
> .
Warum schreibt jemand -i=-1 ? In meinen Augen heißt der Laufindex jetzt nicht i, sonst stünde das ja da, sondern -i, und der geht von -1 bis -1. Mir ist allerdings noch nie ein negativ geschriebener Laufindex begegnet. Ich würde z.B. für [mm] \prod_{-i=-1}^{-1}5 [/mm] k=-i substituieren und dann [mm] \prod_{k=-1}^{-1}5 [/mm] = 5 herausbekommen. Wäre das nicht logischer?
>
> 2. Setzt man [mm]i_k:=i[/mm] für [mm]k \in \IZ[/mm], so ist
>
> [mm]\prod_{k=2}^{-1}i=i_2 \cdot i_1 \cdot i_0 \cdot i_{-1}=i^4.[/mm]
> .
Gibt es wirklich eine Festlegung für einen Rückwärtslauf? Mir ist nur bekannt, dass man bei Summen und Produkten den Wert auf das Neutrale Element setzt, wenn der Endwert um 1 niedriger als der Anfangswert ist. Demnach wäre n! = [mm] \prod_{i=1}^{n}i [/mm] nach meinem Verständnis mit 0! = [mm] \prod_{i=1}^{0}i [/mm] =1, nach deiner Rechnung aber 0. Oder nach meinem Verständnis [mm] \prod_{i=1}^{0}5 [/mm] =1, nach deiner Rechnung aber 25.
>
> 3. Setzt man [mm]i_k:=i[/mm] für [mm]k \in \IZ[/mm], so ist
>
> [mm]\prod_{k=-1}^{-1}i=i_{-1}=i.[/mm] .
>
>
>
> Noch ein Vergleich mit dem Summenzeichen. Ist [mm]j_n=j[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm],
> so ist
>
> [mm]\sum_{n=2}^{4}j=j_2+j_3+j_4=3j.[/mm]
>
>
> Was Dein Prof. gesagt, geglaubt oder sonst was hat, wissen
> wir nicht. Jedenfalls ist keines der drei obigen Produkte
> ein leeres Produkt.
>
> Was ist ein leeres Produkt ? Das:
>
> ein leeres Produkt ist der Sonderfall eines Produktes mit
> null Faktoren. Ihm wird in der Regel der Wert Eins
> zugewiesen.
>
> Beispiel: [mm]\prod_{ j \in \emptyset}2^j=1.[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Fr 03.02.2023 | | Autor: | fred97 |
> > > Was wäre wenn [mm]\prod_{-i=-1}^{-1}i[/mm] stehen würde?
> > > Hallo,
> > >
> > > > Hier ist die Sache klar: Es kommt genau ein "Faktor" vor,
> > > > der für k = -1. Der heißt aber i. Also kommt i heraus.
> > > > Vielleicht sollst du darauf kommen, dass dann
> > > > [mm]\prod_{k=0}^{-1}i[/mm] den Wert 1 haben soll - falls das
> > > > überhaupt Sinn gibt.
> > > >
> > > > Man könnte nun fragen, was dann [mm]\prod_{k=2}^{-1}i[/mm] oder
> > > > (-4)! wäre. Ein weites Feld...
> > > >
> > >
> > > Was wäre wenn [mm]\prod_{-i=-1}^{-1}i[/mm] stehen würde?
> > > Vielleicht hat sich der Prof verschrieben. :/
> > > Dann würde zwar ein negativer Wert herauskommen,
> der
> > > nicht in den folgenden Bereichen liegt,
> > > > Für alle [mm]n \in \lbrace{0,..., T\rbrace[/mm] und [mm]z \in \lbrace{0,..., n\rbrace [/mm].
> > > Aber dann könnte ich wenigstens sagen, dass das Ergebnis
> > > des Produkts nicht in der Definitionsmenge liegt.
> > >
> >
> >
> > Zur Klärung:
> >
> > 1. [mm]\prod_{-i=-1}^{-1}i=\prod_{i=1}^{-1}i=1 \cdot 0 \cdot (-1)=0.[/mm]
> > .
>
> Warum schreibt jemand -i=-1 ?
Das musst Du den fragen, der das so geschrieben hat. Ich würde das auch nicht machen.
> In meinen Augen heißt der
> Laufindex jetzt nicht i, sonst stünde das ja da, sondern
> -i, und der geht von -1 bis -1. Mir ist allerdings noch nie
> ein negativ geschriebener Laufindex begegnet. Ich würde
> z.B. für [mm]\prod_{-i=-1}^{-1}5[/mm] k=-i substituieren und
> dann [mm]\prod_{k=-1}^{-1}5[/mm] = 5 herausbekommen. Wäre das nicht
> logischer?
>
> >
> > 2. Setzt man [mm]i_k:=i[/mm] für [mm]k \in \IZ[/mm], so ist
> >
> > [mm]\prod_{k=2}^{-1}i=i_2 \cdot i_1 \cdot i_0 \cdot i_{-1}=i^4.[/mm]
> > .
>
> Gibt es wirklich eine Festlegung für einen
> Rückwärtslauf? Mir ist nur bekannt, dass man bei Summen
> und Produkten den Wert auf das Neutrale Element setzt, wenn
> der Endwert um 1 niedriger als der Anfangswert ist. Demnach
> wäre n! = [mm]\prod_{i=1}^{n}i[/mm] nach meinem Verständnis mit 0!
> = [mm]\prod_{i=1}^{0}i[/mm] =1, nach deiner Rechnung aber 0. Oder
> nach meinem Verständnis [mm]\prod_{i=1}^{0}5[/mm] =1, nach deiner
> Rechnung aber 25.
>
> >
> > 3. Setzt man [mm]i_k:=i[/mm] für [mm]k \in \IZ[/mm], so ist
> >
> > [mm]\prod_{k=-1}^{-1}i=i_{-1}=i.[/mm] .
> >
> >
> >
> > Noch ein Vergleich mit dem Summenzeichen. Ist [mm]j_n=j[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm],
> > so ist
> >
> > [mm]\sum_{n=2}^{4}j=j_2+j_3+j_4=3j.[/mm]
> >
> >
> > Was Dein Prof. gesagt, geglaubt oder sonst was hat, wissen
> > wir nicht. Jedenfalls ist keines der drei obigen Produkte
> > ein leeres Produkt.
> >
> > Was ist ein leeres Produkt ? Das:
> >
> > ein leeres Produkt ist der Sonderfall eines Produktes mit
> > null Faktoren. Ihm wird in der Regel der Wert Eins
> > zugewiesen.
> >
> > Beispiel: [mm]\prod_{ j \in \emptyset}2^j=1.[/mm]
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