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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Do 23.10.2008 | | Autor: | Brazzo |
| Aufgabe | Sei R ein Ring und [mm] \mathcal{A} [/mm] ein Ideal in R[x], lc(f) der Leitkoeffizient von f [mm] \in [/mm] R[x].
Zu zeigen ist: [mm] lc(\mathcal{A}) [/mm] := [mm] \{ lc(f) | 0 \neq f \in \mathcal{A} \} \cup \{0\} [/mm] ist ein Ideal in R |
Hallo,
ich habe wider Erwarten tatsächlich ein Problem mit obiger Aufgabe.
2 der 3 Idealeigenschaften sind leicht gezeigt, doch bei der Abgeschlossenheit bzgl. Addition hapert es.
Man betrachtet also 2 Elemente a,b aus [mm] lc(\mathcal{A}). [/mm] Dann muss es f,g [mm] \in \mathcal{A} [/mm] geben mit a=lc(f) und b=lc(g). Zu zeigen ist also, dass es ein h [mm] \in \mathcal{A} [/mm] gibt mit lc(h)=lc(f)+lc(g). Das ist trivial, wenn a oder b 0 sind oder wenn f und g denselben Grad haben(Dann ist h=f+g [mm] \in \mathcal{A}). [/mm] Doch was ist, wenn f und g unterschiedlichen Grades sind? Oder muss ich diesen Fall aus Gründen, die mir nicht einfallen gar nicht betrachten?
Würde mich über Hinweise freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
wenn $f$ und $g$ verschiedenen Grad haben, also o.B.d.A. [mm] $\deg [/mm] f = n > [mm] \deg [/mm] g = m$, dann betrachte einfach $g' = g [mm] \cdot x^{n - m}$. [/mm] Wegen der Idealeigenschaft gilt $g' [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] und der Leitkoeffizient ändert sich nicht.
Liebe Grüße,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Do 23.10.2008 | | Autor: | Brazzo |
Ich hab ja fast befürchtet, dass die Lösung so offensichtlich ist und ich nur ein Riesen-Brett vorm Kopf habe...
Vielen Dank jedenfalls!
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