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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:02 Di 23.05.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | | Sei V der Vektorraum der polynomialen Funktionen einer Variablen x mit reellen Koeffizienten vom maximalen Grad 3. Sei A eine Abbildung von V auf sich selbst mit (Af)(x) = xf(x) für grad(f) < 3 und Af = 0 sonst. Sei B die Abbildung Bf = [mm] \bruch{d}{dx}f. [/mm] Zeigen Sie, dass diese Abbildungen linear sind. Sind sie gleichzeitig diagonalisierbar? |
Hallo zusammen,
habe bei dieser Aufgabe ein paar Probleme und hoffe das Ihr mir weiter helfen könnt.
polynomialen Funktionen vom maximalen Grad 3 sind alle
f(x) = [mm] a_{3}X^3 [/mm] + [mm] a_{2}X^2 [/mm] + [mm] a_{1}X [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] mit a [mm] \in \IR
[/mm]
A = Abbildung von V auf sich selbst also
A: V [mm] \to [/mm] V
d.h. ich muß zeigen
A(f(x) + f(x)´) = A(f(x)) + A(f(x)´) und
A( [mm] \lambda [/mm] * f(x)) = [mm] \lambda [/mm] * A(f(x))
ist der Ansatz soweit schon richtig???
Wie gehe ich jetzt weiter vor und was hat das "(Af)(x) = xf(x) für grad(f) < 3 und Af = 0 sonst" zu bedeuten??
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
Beste Grüße Vicky
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Hi Vicky!
> Sei V der Vektorraum der polynomialen Funktionen einer
> Variablen x mit reellen Koeffizienten vom maximalen Grad 3.
> Sei A eine Abbildung von V auf sich selbst mit (Af)(x) =
> xf(x) für grad(f) < 3 und Af = 0 sonst. Sei B die Abbildung
> Bf = [mm]\bruch{d}{dx}f.[/mm] Zeigen Sie, dass diese Abbildungen
> linear sind. Sind sie gleichzeitig diagonalisierbar?
> Hallo zusammen,
>
> habe bei dieser Aufgabe ein paar Probleme und hoffe das Ihr
> mir weiter helfen könnt.
>
> polynomialen Funktionen vom maximalen Grad 3 sind alle
>
> f(x) = [mm]a_{3}X^3[/mm] + [mm]a_{2}X^2[/mm] + [mm]a_{1}X[/mm] + [mm]a_{0}[/mm] mit a [mm]\in \IR[/mm]
>
> A = Abbildung von V auf sich selbst also
> A: V [mm]\to[/mm] V
> d.h. ich muß zeigen
>
> A(f(x) + f(x)´) = A(f(x)) + A(f(x)´) und
> A( [mm]\lambda[/mm] * f(x)) = [mm]\lambda[/mm] * A(f(x))
>
> ist der Ansatz soweit schon richtig???
Ja, sieht gut aus.
> Wie gehe ich jetzt weiter vor und was hat das "(Af)(x) =
> xf(x) für grad(f) < 3 und Af = 0 sonst" zu bedeuten??
Wenn du ein Polynom vom Grad 3 mit x multiplizierst erhälst du ein Polynom vom Grad 4. Das liegt dann also nicht mehr in V. Deswegen die Fallunterscheidung. Das heißt, die Polynome vom Grad 3 werden auf das Nullpolynom abgebildet und die Polynome f vom Grad 2, 1 oder 0 werden auf [mm] x\cdot{}f [/mm] abgebildet.
Mmh, vielleicht hab ich nen Knoten im Gehirn, aber die Abbildung ist doch nicht linear!
Wenn man [mm] f_1(x)=x^3+1 [/mm] und [mm] f_2(x)=-x^3+1 [/mm] wählt, dann ist [mm] A((f_1+f_2)(x))=A(2)=2x, [/mm] aber [mm] A(f_1(x))+A(f_2(x))=0+0=0.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 25.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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