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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge aller linearen Funktionen
$ M = [mm] \{f | f(x) = mx + n ; m, n \in \IR, x \in \IR\}$
[/mm]
und auf dieser Menge die bekannte Addition von Funktionen als Verknüpfung:
$f1 + f2: (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) $
a) Weisen Sie nach, dass (M, +) eine Gruppe ist.
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Folgendes habe ich probiert:
Abgeschlossenheit
Für alle f1, f2 gilt f1 + f2 [mm] \in [/mm] (M, +).
f1 + f2: (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x).
Es gilt:
--> f1(x1) = mx1 + n
--> f2(x2) = mx2 + n
mx1 + n + mx2 + n =
mx1 + mx2 + 2n =
m(x1 + x2) + 2n = f3, da x1 + x2 [mm] \in [/mm] R und 2*n [mm] \in [/mm] R
Neu
f0(x) = 0 --> e
denn für alle f1 [mm] \in [/mm] M gilt f1 + f0 = (f1 + f0)(x) = f1(x) + f0(x) = mx + n + 0 = mx +n = f1
Inv
Es ex. für alle f ein [mm] $f^{-1}$ [/mm] für das gilt --> $f + [mm] f^{-1}= [/mm] f0$
[mm]f1 + f1^{-1} = (f1 + f1^{-1})(x) = f1(x) + f1^{-1}(x) = mx+n-mx-n= 0 = f0(x)[/mm]
Ass
Die Hintereinanderausführung von Abbildungen ist stets assoziativ
Könnte mir jemand sagen ob das so richtig ist? Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge aller linearen Funktionen
$ M = [mm] \{f | f(x) = mx + n ; m, n \in \IR, x \in \IR\} [/mm] $
und auf dieser Menge die bekannte Addition von Funktionen als Verknüpfung:
f1 + f2: (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)
b) Geben Sie zwei verschiedene echte Untergruppen von (M, +) an und begründen Sie, dass es sich um Untergruppen handelt. |
U1:
Die Menge aller Geradenpaare die die y-Achse in dem Punkt (0,0) schneiden
--> f(x) = mx
Muss ich hier jetzt die Gruppenaxiome zeigen oder kann ich auch mit nem Untergruppenkriterium arbeiten? Vielleicht so:
f1 + [mm] f2^{-1} \in [/mm] U1?
$f1 + f2: (f1 + f2 ^{-1}) (x) = f1(x) + f2 ^{-1} (x).$
Denn:
mx1 + n mx2 n = m(x1 x2) und somit [mm]f1 + f2 ^{-1} \in U1[/mm] da [mm] x1 + x2 \in \IR.[/mm]
?
U2: Die Menge aller Geraden mit der Form f(x) = 2mx + n. (parallele Geraden mit unterschiedlichem Schnittpunkt mit der y-Achse)
f1 + [mm] $f2^{-1} \in [/mm] U2$?
[mm]f1 + f2: (f1 + f2 ^{-1})(x) = f1(x) + f2 ^{-1} (x).[/mm]
Denn:
2mx1 + n 2mx2 n = 2m(x1 x2) und somit [mm]f1 + f2 ^{-1} \in U2[/mm] da [mm] x1 + x2 \in \IR.[/mm]
?
Großen Dank an alle Hilfeleistenden
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> b) Geben Sie zwei verschiedene echte Untergruppen von (M,+) an und
> begründen Sie, dass es sich um Untergruppen handelt.
> U1: Die Menge aller Geradenpaare die die y-Achse in dem Punkt
> (0,0) schneiden --> f(x) = mx
das sind nicht Geradenpaare, sondern einfach Geraden
> Muss ich hier jetzt die Gruppenaxiome zeigen oder kann ich
> auch mit nem Untergruppenkriterium arbeiten?
es genügt zu zeigen, dass U1 bezüglich "+" abgeschlossen ist,
das neutrale Element und zu jedem Element das Inverse enthält
> U2: Die Menge aller Geraden mit der Form f(x) = 2mx + n.
> (parallele Geraden mit unterschiedlichem Schnittpunkt mit
> der y-Achse)
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") Nach meiner Ansicht ist U2=M !
Als weitere Untergruppen könntest du z.B. folgende nehmen:
Jene Funktionen f: x [mm] \rightarrow [/mm] m*x+n mit:
a) m [mm] \in \IZ
[/mm]
oder b) n [mm] \in \IZ
[/mm]
oder c) m,n [mm] \in \IZ
[/mm]
etc.
LG al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Di 19.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Hallo, auch an dieser Stelle vielen Dank!
Ok, ich versuche jetzt nochmals zwei Untergruppen von (M,+) anzugeben und dies zu begründen.
U1: Die Menge aller Geraden die die y-Achse in dem Punkt (0,0) schneiden
--> f(x) = mx
Ab
f. alle [mm] f_1, f_2 \in U_1 [/mm] gilt [mm] f_1+f_2 \in U_1:
[/mm]
[mm]f_1 + f_2 = (f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x) = m_1x + m_2x = x(m_1 + m_2) = f_3 \in U_1[/mm] da [mm] m_1, m_2 \in \IR [/mm] und auch [mm] m_1 [/mm] + [mm] m_2 \in \IR
[/mm]
Neu
f0(x) = 0 = neutrales Element mit m = 0
denn für alle
f [mm] \in U_1 [/mm] gilt f + f0 = (f + f0)(x) = f(x) + f0(x) = mx + 0 = mx = f
Inv
Es ex. für alle f [mm] \in U_1 [/mm] ein [mm] f^{-1} [/mm] mit [mm] f^{-1}= [/mm] -mx für das gilt:
f + [mm] f^{-1} [/mm] =
Dann:
[mm]f + f^{-1}=(f + f^{-1}(x) = f(x)+f^{-1}(x)=mx-mx=0=e=f0[/mm]
--> [mm] U_1 [/mm] ist Untergruppe von M
Zu U2:
U2: f: x-->m*x+n mit:
a) m [mm] \in \IZ
[/mm]
Wie kann ich das begründen? Einfach damit, dass die Menge der ganzen Zahlen eine Untergruppe der Menge der reellen Zahlen ist?
Vielen Dank für die Hilfe!
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> U2: f: x-->m*x+n mit m [mm]\in \IZ[/mm]
>
> Wie kann ich das begründen? Einfach damit, dass die Menge
> der ganzen Zahlen eine Untergruppe der Menge der reellen
> Zahlen ist?
es läuft natürlich genau darauf hinaus...
(es ist dir natürlich unbenommen, nochmals einen
detaillierten Beweis zu notieren)
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Vielen Dank Al-Chwarizmi für Deine Unterstützung. ICh beweise U2 jetzt nicht. Ich nehme es einfach so.
Schöne Grüße!
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> Gegeben sei die Menge aller linearen Funktionen
> [mm]M = \{f | f(x) = mx + n ; m, n \in \IR, x \in \IR\}[/mm]
> und
> auf dieser Menge die bekannte Addition von Funktionen als
> Verknüpfung:
> [mm]f_1 + f_2: (f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x)[/mm]
>
> a) Weisen Sie nach, dass (M, +) eine Gruppe ist.
>
> Folgendes habe ich probiert:
>
> Abgeschlossenheit
> Für alle f1, f2 gilt f1 + f2 [mm]\in[/mm] (M, +).
besser: Für alle f1, f2 [mm] \in [/mm] M gilt f1 + f2 [mm] \in [/mm] M
> f1 + f2: (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x).
>
> Es gilt:
> --> f1(x1) = mx1 + n
> --> f2(x2) = mx2 + n
wozu die x1 und x2 ?? du brauchst [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 [/mm] !
>
> mx1 + n + mx2 + n =
> mx1 + mx2 + 2n =
> m(x1 + x2) + 2n = f3, da x1 + x2 [mm]\in[/mm] R und 2*n [mm]\in[/mm] R
>
> Neu
> f0(x) = 0 --> e
(neutrales Element: m=n=0)
> denn für alle f1 [mm]\in[/mm] M gilt f1 + f0 = (f1 + f0)(x) = f1(x)
> + f0(x) = mx + n + 0 = mx +n = f1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Inv
> Es ex. für alle f ein [mm]f^{-1}[/mm] für das gilt --> [mm]f + f^{-1}= f0[/mm]
>
> [mm]f1 + f1^{-1} = (f1 + f1^{-1})(x) = f1(x) + f1^{-1}(x) = mx + n[/mm]
> | mx n
> [mm]= 0 = f0(x)[/mm]
unklar !
und wozu hier der Index 1 ?
du solltest das inverse Element zu f(x)=mx+n klar angeben
>
> Ass
> Die Hintereinanderausführung von Abbildungen ist stets
> assoziativ
Welche Abbildungen meinst du hier ?
Gruß al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Danke für die schnelle Antwort:
Ok ich übernehme das was Du sagst. Dann müsste das so heißen:
Abgeschlossenheit
Für alle f1, f2 [mm] \in [/mm] M gilt f1 + f2 [mm] \in [/mm] M
f1 + f2: (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x).
Es gilt:
f1(x) = m1x + n
f2(x) = m2x + n
m1x + n + m2x + n =
m1x + m2x + 2n =
x(m1 + m2) + 2n = f3 [mm] \in [/mm] M, da m1 + m2 [mm] \in \IR [/mm] und 2*n [mm] \in \IR
[/mm]
Neu
f0(x) = 0 = neutrales Element mit m = n = 0
denn für alle f1 [mm] \in [/mm] M gilt f1 + f0 = (f1 + f0)(x) = f1(x) + f0(x) = mx + n + 0 = mx +n = f1
Inv
Es ex. für alle f ein [mm]f^{-1}[/mm] mit [mm]f^{-1}(x) =-mx-n[/mm], für das gilt --> [mm]f+f^{-1}=f0[/mm]
Dann:
[mm]f + f^{-1}= (f + f^{-1})(x) = f(x) + f^{-1}(x)= mx+n-mx-n=0=e=f0(x)[/mm]
Ass
Also allgemein soll ja gelten:
Für alle f1, f2, f3 [mm] \in [/mm] M: (f1 + f2) + f3 = f1 + (f2 + f3).
Dann soll sein:
(f1 + f2) + f3 =
(m1x + n +m2x + n) + m3x + n =
(x(m1 + m2) + n) + m3x + n =
(x(m1 + m2 + m3) + 3n) =
(m1x + n) + (x(m2 + m3) + 2n) =
(m1x + n) + (m2x + n + m3x + n) =
f1 + (f2 + f3).
Ist das soweit besser? Vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo Fanomos,
ich habe in meiner ersten Antwort leider nur darauf
hingewiesen, dass du [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 [/mm] brauchst und
nicht erwähnt, dass natürlich auch [mm] n_1 [/mm] und [mm] n_2
[/mm]
erforderlich sind. Gleich nach dem Absenden habe
ich dies festgestellt, dann aber gedacht, das merkst
du wohl selber...
Auch für die Assoziativität brauchst du natürlich
[mm] n_1, n_2 [/mm] und [mm] n_3 [/mm] !
Übrigens: den tiefgestellten Index in [mm] n_3 [/mm] erhält
man, indem man schreibt: [mm] n\_{3}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Ja, stimmt Du hast Recht, ich hätte auch selber draufkommen können. Ich hoffe jetzt ist alles vollständig und korrekt. Vielleicht kannst Du ja nochmals drüberschauen. Dankeschön
Abgeschlossenheit
Für alle [mm] $f_1$, $f_2$ \in [/mm] M gilt [mm] $f_1$ [/mm] + [mm] $f_2$ \in [/mm] M
[mm]f_1 + f_2: (f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x)[/mm]
Es gilt:
[mm]f_1(x) = m_1x + n_1[/mm]
[mm]f_2(x) = m_2x + n_2[/mm]
[mm]m_1x + n_1 + m_2x + n_2 =
m_1x + m_2x + n_1 + n_2 =
x(m_1 + m_2) + n_1 + n_2 = f_3 \in M [/mm], da [mm] m_1, m_2 \in \IR [/mm] und so auch [mm] m_1 [/mm] + [mm] m_2. [/mm] Und [mm] n_1, n_2 \in \IR
[/mm]
so auch [mm] n_1 [/mm] + [mm] n_2
[/mm]
Neu
f0(x) = 0 = neutrales Element mit m = n = 0
denn für alle [mm]f_1 \in M gilt f_1 + f0 = (f_1 + f_0)(x) = f_1(x) + f_0(x) = mx+n+0= mx+n = f_1[/mm]
Inv
Es ex. für alle f ein $f{-1}$ mit [mm] $f^{-1}(x)=-mx-n$, [/mm] für das gilt --> [mm] $f+f^{-1}=f0$
[/mm]
Dann:
[mm]f+f^{-1}(x)=(f+f^{-1}(x))=f(x)+ f^{-1}=mx+n-mx-n=0=e=f0(x) [/mm]
Ass
Also allgemein soll ja gelten:
Für alle [mm]f_1, f_2, f_3 \in M: (f_1 + f_2) + f_3 = f_1 + (f_2 + f_3).[/mm]
Dann soll sein:
[mm] (f_1 + f_2) + f_3 =[/mm]
[mm](m_1x + n_1 +m_2x + n_1) + m_3x + n_3 =[/mm]
[mm](x(m_1 + m_2) + n_1 + n_2) + m_3x + n_3 =[/mm]
[mm](x(m_1 + m_2 + m_3) + n_1 + n_2 + n_3) =[/mm]
[mm](m_1x + n_1) + (x(m_2 + m_3) + n_2 + n_3) =[/mm]
[mm](m_1x + n_1) + (m_2x + n_2 + m_3x + n_3) =[/mm]
[mm]f_1+ (f_2 + f_3).[/mm]
Danke.
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Ich hoffe jetzt ist alles vollständig und korrekt. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ist es !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Vielen vielen Dank für deine Hilfestellungen und Korrekturen  !
Danke dir vielmals,
Fanomos
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge aller linearen Funktionen
$ M = [mm] \{f | f(x) = mx + n ; m, n \in \IR, x \in \IR\} [/mm] $
und auf dieser Menge die bekannte Addition von Funktionen als Verknüpfung:
f1 + f2: (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)
c) Geben Sie einen surjektiven Homomorphismus [mm] \varphi: [/mm] (M, +) → [mm] (\IR, [/mm] +) an. |
Es muss gelten:
- f(g1 + g2) = f(g1) + f(g2) für alle g1, g2 [mm] \in [/mm] M
- jedes x [mm] \in [/mm] R hat mindestens ein Urbild g in M mit f(g) = x.
Ist das richtig formuliert?
Meine Frage nächste Frage ist, ob das ein surj. Homomorphismus ist?
f(x) = n
Es gilt ja dann:
f(x1 + x2) = n + n = 2n
f(x1) + f(x2) = n + n = 2n.
Wie zeige ich ob die Surjektivität erfüllt ist?
Vielen Dank für die Hilfe.
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> Gegeben sei die Menge aller linearen Funktionen
> [mm]M = \{f | f(x) = mx + n ; m, n \in \IR, x \in \IR\}[/mm]
>
> und auf dieser Menge die bekannte Addition von Funktionen
> als Verknüpfung:
> f1 + f2: (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)
>
> c) Geben Sie einen surjektiven Homomorphismus [mm]\varphi:[/mm] (M,+) → [mm](\IR,[/mm] +) an.
> Es muss gelten:
> - f(g1 + g2) = f(g1) + f(g2) für alle g1, g2 [mm]\in[/mm] M
> - jedes x [mm]\in[/mm] R hat mindestens ein Urbild g in M mit f(g) = x.
>
> Ist das richtig formuliert?
ich denke schon
> Meine Frage nächste Frage ist, ob das ein surj.
> Homomorphismus ist?
>
> f(x) = n
> Es gilt ja dann:
>
> f(x1 + x2) = n + n = 2n
>
> f(x1) + f(x2) = n + n = 2n.
>
> Wie zeige ich ob die Surjektivität erfüllt ist?
Du hast es oben schon formuliert !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Di 19.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Hallo Al-Chwarizmi!
Also zuerst einmal Danke für die Tipps und Hilfestellungen!
Zur Aufgabe c):
Ich soll doch einen surj. Homom. angeben.
Mit f(x) = n ist der Gruppenhomomorphismus erfüllt. Also ich muss jetzt noch die Surjektivität explizit zeigen, so dass gilt (ok, hab ich ja schon formuliert):
- jedes x R hat mindestens ein Urbild g in M mit f(g)=x hat!
Ich komm nicht drauf wie ich das zu zeigen habe. Vielleicht kannst Du mir nochmals behilflich sein Ich habe so meine Probleme mit der Injekt. und Surj..
Herzlichen Dank,
Fanomos
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> Zur Aufgabe c):
> Ich soll doch einen surj. Homom. angeben.
>
> Mit f(x) = n ist der Gruppenhomomorphismus erfüllt. Also
> ich muss jetzt noch die Surjektivität explizit zeigen, so
> dass gilt (ok, hab ich ja schon formuliert):
>
> - jedes x R hat mindestens ein Urbild g in M mit f(g)=x
> hat!
>
> Ich komm nicht drauf wie ich das zu zeigen habe. Vielleicht
> kannst Du mir nochmals behilflich sein
hallo Fanomos,
mir ist jetzt mit den Bezeichnungen nicht alles klar.
Verwenden wir doch die Originalbezeichnungen aus
der Aufgabenstellung.
Die Elemente von M sind Funktionen f der Form
f: [mm] \IR \to\ \IR
[/mm]
[mm] x\mapsto [/mm] m*x+n
Der gesuchte Homomorphismus ist eine Abbildung
[mm] \varphi: [/mm] M [mm] \to \IR
[/mm]
[mm] f\mapsto \varphi(f) [/mm]
Wenn ich richtig verstanden habe, meinst du:
[mm] \varphi(f)=n [/mm] , wenn f(x)=m*x+n
Da in M Funktionen f mit allen möglichen reellen
n (und m) vorkommen, ist klar, dass [mm] \varphi [/mm] surjektiv
ist.
Surjektivität bedeutet jetzt ja:
- jedes [mm] t\in \IR [/mm] hat mindestens ein Urbild f in M mit [mm] \varphi(f)=t
[/mm]
Sei also eine beliebige reelle Zahl t gegeben.
Dann wählen wir einfach als Urbild [mm] f\in [/mm] M die Funktion mit
f(x)=0*x+t . Dann ist
[mm] \varphi(f)=t [/mm] Q.E.D.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Auch hier vielen Dank Al-Chwarizmi. Hast mir sehr geholfen.
Grüße Fanomos
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