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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Fr 16.12.2011 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Es sei (V,K,+,*) ein Vektorraum und es seien u, v,w [mm] \in [/mm] V linear unabhäangig.
(a) Man zeige, dass auch
(w + u), (5v + 3w + u) und (v + 2w + 4u)
linear unabhäangig sind, falls K = [mm] \IR [/mm] ist.
(b) Füur welche Primzahlen p ist die Aussage aus (a) auch für K = [mm] \IZ_{p} [/mm] richtig? |
Hey Leute,
hab mal wieder n Problem mit ner Aufgabe.
Also der a) Teil ist erledigt. Da hab ich rausgefunden, dass die 3 neuen Vektoren auch linear unabhängig sind.
Nur bei der b) haperts bisschen.
Wenn ich bei [mm] \IZ_{2} [/mm] anfange, dann muss ich ja erstmal die Vektoren anders schreiben oder ?
Dann bliebe (w + u), da sich ja nichts an den Skalaren ändert.
(5v + 3w + u) würde dann aber zu (v + w + u) und (v + 2w + 4u) würde zu (v + 0 + 0). Sind meine Überlegungen soweit schonmal richtig ?
Wenn ich dann mit den Vektoren ein LGS aufstelle, dann erhalte ich.
(I) [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0
(II) [mm] \lambda_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0
(III) [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0
Dann kann ich entweder gleich umformen oder die (I) mit der (III) Zeile subtrahieren. Dann steht ja noch da 0 = 0.
Bedeutet das, dass die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind ?
Eig. sollten sie doch linear abhängig sein, da
aus (I) und (III) folgt: [mm] \lambda_{1} [/mm] = - [mm] \lambda_{2}
[/mm]
Und aus (II) folgt: [mm] \lambda_{2} [/mm] = - [mm] \lambda_{3}
[/mm]
Würde ich jetzt für [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1, [mm] \lambda_{2} [/mm] = -1 und [mm] \lambda_{3} [/mm] = 1 einsetzen, dann wäre das LGS auch erfüllt, aber [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} \not= [/mm] 0
Also das wäre dann eben ne nicht triviale Lösung.
Ich würd mich über klärende Worte freuen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Fr 16.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei (V,K,+,*) ein Vektorraum und es seien u, v,w [mm]\in[/mm] V
> linear unabhäangig.
> (a) Man zeige, dass auch
> (w + u), (5v + 3w + u) und (v + 2w + 4u)
> linear unabhäangig sind, falls K = [mm]\IR[/mm] ist.
> (b) Füur welche Primzahlen p ist die Aussage aus (a) auch
> für K = [mm]\IZ_{p}[/mm] richtig?
>
> Hey Leute,
>
> hab mal wieder n Problem mit ner Aufgabe.
> Also der a) Teil ist erledigt. Da hab ich rausgefunden,
> dass die 3 neuen Vektoren auch linear unabhängig sind.
>
> Nur bei der b) haperts bisschen.
> Wenn ich bei [mm]\IZ_{2}[/mm] anfange, dann muss ich ja erstmal die
> Vektoren anders schreiben oder ?
>
> Dann bliebe (w + u), da sich ja nichts an den Skalaren
> ändert.
> (5v + 3w + u) würde dann aber zu (v + w + u) und (v + 2w
> + 4u) würde zu (v + 0 + 0). Sind meine Überlegungen
> soweit schonmal richtig ?
Ja
> Wenn ich dann mit den Vektoren ein LGS aufstelle, dann
> erhalte ich.
>
> (I) [mm]\lambda_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}[/mm] = 0
> (II) [mm]\lambda_{2}[/mm] + [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0
> (III) [mm]\lambda_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}[/mm] = 0
>
> Dann kann ich entweder gleich umformen oder die (I) mit der
> (III) Zeile subtrahieren. Dann steht ja noch da 0 = 0.
> Bedeutet das, dass die Vektoren linear abhängig oder
> linear unabhängig sind ?
> Eig. sollten sie doch linear abhängig sein, da
> aus (I) und (III) folgt: [mm]\lambda_{1}[/mm] = - [mm]\lambda_{2}[/mm]
> Und aus (II) folgt: [mm]\lambda_{2}[/mm] = - [mm]\lambda_{3}[/mm]
> Würde ich jetzt für [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1, [mm]\lambda_{2}[/mm] = -1
> und [mm]\lambda_{3}[/mm] = 1 einsetzen, dann wäre das LGS auch
> erfüllt, aber [mm]\lambda_{1}[/mm] = [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]\lambda_{3} \not=[/mm]
> 0
> Also das wäre dann eben ne nicht triviale Lösung.
Ja
FRED
>
> Ich würd mich über klärende Worte freuen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Fr 16.12.2011 | | Autor: | s1mn |
Und wie ist das mit dem Umformen des LGS ?
Wenn ich durch die Addition bzw. Subtraktion irgendwann 0 = 0 dranstehn hab ?
Was sagt mir das ?
weil im [mm] \IZ_{2} [/mm] war das jetzt die lineare Abhängigkeit.
Bei nem Beispiel, was ich vorhin gerechnet hab, kam raus, dass die Vektoren linear unabhängig sind.
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> Und wie ist das mit dem Umformen des LGS ?
> Wenn ich durch die Addition bzw. Subtraktion
> irgendwann 0 = 0 dranstehn hab ?
> Was sagt mir das ?
Hallo,
0=0 für sich betrachtet sagt wenig.
Man muß das Gleichungssystem insgesamt betrachten.
Wenn Du etwa hast
a+b=5 <==> a=5-b
b+c=-7 <==> b=5-c
0=0,
dann weißt Du, daß es für jede beliebige Wahl von b eine Lösung gibt, wenn Du so clever bist, für a eben 5-c zu nehmen und für b die Zahl 5-c.
Du hast hier ein GS, welches in [mm] \IR [/mm] unendlich viele Lösungen hat.
Allerdings ist 0=0 für sich genommen kein Hinweis auf unendlich viele Lösungen:
a=5
b=6
c=7
0=0
Du kannst nun, wenn Du magst, Dein GS für alle p durchrechnen, oder zumindest noch für p=3,5,7,11,13, dann wirst Du die Antwort auf die gestellte Aufgabe wissen.
Du kannst aber auch einmal die Koeffizientenmatrix Deines GSs auf ZSF bringen. Daran kann man alles ablesen.
Beachte, daß wir in [mm] \IZ_p [/mm] keine Brüche haben. Du mußt, statt zu dividieren, mit dem Inversen multiplizieren.
Gruß v. Angela
> weil im [mm]\IZ_{2}[/mm] war das jetzt die lineare Abhängigkeit.
> Bei nem Beispiel, was ich vorhin gerechnet hab, kam raus,
> dass die Vektoren linear unabhängig sind.
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