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| Aufgabe | | Sei [mm] x''-2x/(t^{2})=0 [/mm] eine DGL mit t>0. Finden sie die allgemeine Lösung der DGL mit der Liouville Formel. |
Um die Liouville-Formel anwenden zu können braucht man erst einmal eine spezielle Lösung , die kannfrei gewählt werden und wäre beispielsweise
[mm] x_{0}(t)=t^{2} [/mm] . Nun finde ich im Skript die Liouvilleformel für diese DGL.
[mm] W(t)=W(t_{0})exp(-\integral_{t_{0}}^{t}{a_{1}(\gamma)) d\gamma}
[/mm]
Dieses kann man auf die Form
[mm] (x/x_{0})'=(Cexp(-\integral_{a}^{b}{a_{1}(t) dt})/(x_{0})^{2}
[/mm]
Jetzt frage ich mich aber , was hier [mm] a_{1} [/mm] darstellen soll , denn das braucht man ja nun unbedingt um integrieren zu können.
Danke vorab
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Hallo Uebungistalles,
> Sei [mm]x''-2x/(t^{2})=0[/mm] eine DGL mit t>0. Finden sie die
> allgemeine Lösung der DGL mit der Liouville Formel.
> Um die Liouville-Formel anwenden zu können braucht man
> erst einmal eine spezielle Lösung , die kannfrei gewählt
> werden und wäre beispielsweise
> [mm]x_{0}(t)=t^{2}[/mm] . Nun finde ich im Skript die
> Liouvilleformel für diese DGL.
>
> [mm]W(t)=W(t_{0})exp(-\integral_{t_{0}}^{t}{a_{1}(\gamma)) d\gamma}[/mm]
>
> Dieses kann man auf die Form
> [mm](x/x_{0})'=(Cexp(-\integral_{a}^{b}{a_{1}(t) dt})/(x_{0})^{2}[/mm]
Offenbar wurde hier die Substitution [mm]x\left(t\right)=x_{0}\left(t\right)*\integral_{}^{}{z\left(t\right) \ dt }[/mm] verwendet.
Dies führt auf eine DGL 1. Ordnung:
[mm]z'\left(t\right)+\bruch{2
*x_{0}' \left(t\right)}{x_{0}\left(t\right)}*z\left(t\right)=0[/mm]
Daher ist es wahrscheinlich, daß [mm]a_{1}\left(t\right)=\bruch{2
*x_{0}' \left(t\right)}{x_{0}\left(t\right)}[/mm] ist.
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> Jetzt frage ich mich aber , was hier [mm]a_{1}[/mm] darstellen soll
> , denn das braucht man ja nun unbedingt um integrieren zu
> können.
>
> Danke vorab
Gruss
MathePower
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