Lösen von Rekursionsgleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mo 30.12.2013 | | Autor: | Jochen90 |
| Aufgabe | | Lösen von Rekursionsgleichung an = 3_an-1 -2_an-2 mit den Startwerten ao= 0, a1=1. |
Ich weiss nicht wie ich da anfangen soll. wenn ich jetzt a0=0 einsetzen 3*(0-1) -2*(0-2) würde 1 rauskommen, und wenn ich a1=1 einsetze 3*(0) - 2*(-1) = 2 wie muss man da vorgehen.
Wäre sehr dankbar, wenn jemand mir helfen könnte
Gruß Jochen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mo 30.12.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Lösen von Rekursionsgleichung an = 3_an-1 -2_an-2 mit
> den Startwerten ao= 0, a1=1.
Du meinst doch wohl [mm] a_n [/mm] = [mm] 3a_{n-1} [/mm] - [mm] 2a_{n-2} [/mm] mit [mm] a_0 [/mm] = 0 und [mm] a_1 [/mm] = 1.
> Ich weiss nicht wie ich da anfangen soll. wenn ich jetzt
> a0=0 einsetzen 3*(0-1) -2*(0-2) würde 1 rauskommen,
> und wenn ich a1=1 einsetze 3*(0) - 2*(-1) = 2 wie muss
> man da vorgehen.
Es ergibt sich dann $ [mm] a_2 [/mm] = [mm] 3a_1 [/mm] - [mm] 2a_0 [/mm] = 3 - 0 = 3 $
$ [mm] a_3 [/mm] = [mm] 3a_2 [/mm] - [mm] 2a_1 [/mm] = 3*3 - 2*1 = 7 $
Bei dieser Rekursion ist es am einfachsten, wenn du noch ein paar Folgenglieder berechnest, dann eine Vermutung für die explizite Darstellung aufstellst und diese mi Induktion beweist.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Do 02.01.2014 | | Autor: | Jochen90 |
Vielen Dank, dass ihr mir sehr schnell geholfen habt, wünsch euch ein frohes neues Jahr
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Do 02.01.2014 | | Autor: | Jochen90 |
Wie kann ich [mm] a_n-1 [/mm] darstellen ?
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> Wie kann ich [mm]a_n-1[/mm] darstellen ?
Hallo Jochen90,
was meinst du damit jetzt genau ?
Bist du dem Tipp von Sax gefolgt und hast du die
explizite Darstellung der Folge in der Form
$\ [mm] a_n\ [/mm] =\ [mm] ....\,(Funktion\ [/mm] von\ [mm] n)\,......$
[/mm]
gefunden ?
Ich vermute, dass noch eine Rekursionsformel
gesucht sein könnte, welche jeweils nur auf
das Glied $\ [mm] a_{n-1}$ [/mm] zurückgreift, um $\ [mm] a_{n}$ [/mm] zu
berechnen:
$\ [mm] a_n\ [/mm] =\ [mm] ....\,(Funktion\ [/mm] von\ [mm] a_{n-1})\,......$
[/mm]
Wenn du dir die Anfangssequenz
der Folge anschaust, kannst du eine solche
Formel leicht entdecken und dann ebenfalls
mittels Induktion aus der ursprünglichen
Zweier-Rekursionsformel beweisen.
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Do 02.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
vielleicht meinst du auch, dass du im Laufe des Induktionsbeweises einen Term für [mm] a_{n-1} [/mm] benötigst ?
Da kannst du ebenfalls die Induktionsvoraussetzung benutzen.
Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mo 30.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
man kann das Problem auch als eine lineare Differenzengleichung ![[]](/images/popup.gif) siehe hier auffassen und diese mit dem Ansatz
[mm] a_n=\lambda^n [/mm] lösen
daraus ergibt sich für [mm] \lambda [/mm] die Gleichung [mm] \lambda^2-3\lambda+2=0
[/mm]
Die Lösung ergibt sich wie bei den linearen Differentialglewichungen als Superposition beider Lösungen für [mm] \lambda, [/mm] also zu
[mm] a_n=\alpha\lambda_1^n+\beta\lambda_2^n
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] ergeben sich aus den Anfangsbedingungen
[mm] a_0=0=\alpha+\beta [/mm] und
[mm] a_1=1=\alpha\lambda_1+\beta\lambda_2
[/mm]
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