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Hallo,
ich habe folgende Problemstellung:
Ich suche für die Funktion
[mm] $$f(x)=a*(x-x^2)+x^b$$
[/mm]
unter den Voraussetzungen:
$$ x [mm] \in [/mm] [0,1], a [mm] \in [/mm] [0,1], b [mm] \in [/mm] (0,1] $$
Bedingungen, die ich an $a$ und $b$ stellen muss, damit [mm] $f(x)\le1$ [/mm] bleibt(und [mm] $f(x)\ge0$, [/mm] aber das sollte unter den Voraussetzungen gegeben sein).
Ich habe mir gedacht, ich nähere mich dem Problem am Besten, indem ich erstmal versuche die Funktionsgleichung $f(x)=1$ numerisch zu lösen. Hierbei bin ich davon ausgegangen, dass sich diese Gleichung analytisch nicht lösen lässt (korrigiert mich bitte, falls das nicht stimmt).
Nun wollte ich mal fragen, ob jemand hierfür ein gutes Näherungsverfahren kennt. Ich hätte Zugang zu Matlab, kenne mich damit aber kaum aus. Ich habs auch schon mal mit Wolfram probiert, aber das scheint dort nicht zu klappen. Traumhaft wäre natürlich eine Online-Umsetzung, aber ich bin auch so um jeden Tipp dankbar.
Vielen Dank und Grüße
Andre
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Fr 31.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
was genau willst du für f(x)=1 lösen? a oder b oder beides?
zum Überblick würde ich erstmal etwa in Geogebra die fkt mit einstellbarem a und b zeichnen , dann einfach a und b variieren.
was du mit beiden erreichen willst verstehe ich dann als fkt f(a,b) mit dem Parameter x zwischen 0 und 1
Gruß leduart
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Hallo leduart,
danke für die schnelle Antwort.
Da bin ich noch gar nicht drauf gekommen, dass als Funktion in Abhängigkeit von $a$ und $b$ aufzufassen, da die eigentliche Funktion ja erstmal nur von $x$ abhängig sein soll und die Parameter $a$ und $b$ später fest gewählt werden sollen.
D.h. für die Wahl von $a$ und $b$ möchte ich bestenfalls Abhängigkeiten haben (z.b., völlig aus der Luft gegriffen, sowas wie es muss gelten $a > 2b$), damit [mm] $f(x)\le [/mm] 1$ mit diesen Paramtern $a$ und $b$ erfüllt ist.
Geogreba kenne ich noch nicht. Das werde ich mir mal anschauen, um eine Idee zu bekommen. Ich bräuchte aber mehr als eine graphische Lösung.
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Ich geb mal ein Beispiel:
wenn ich z.B. die Parameter folgendermaßen wähle:
$$a:= 0,9$$
$$b:=0,1$$
Dann hat meine Funktion $f(x)$ ein relativ großes Intervall im Definitionbereich von $x$ (graphisch ermittelt so ungefähr für [mm] $x\in [/mm] (0.2;1)$), wo $f(x)>1$ ist.
Genau das möchte ich aber vermeiden.
Die Frage ist also, was genau muss ich für Bedingungen an $a$ und $b$ stellen, damit $f(x)>1$ nicht passieren kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Fr 31.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
a,b fest wählen dann ist das problem ja einfach: b=1 a beliebig
b=0.5 [mm] a\le [/mm] 0.5
aber lad die wirklich mal das gute Geogebra (frei) runter benutze Schieberegister für a und b und sieh dir das an. f' zu bilden und das max zu suchen lohnt auch. wegen f(1)=1 darf [mm] f'(x_0)=0 x_0\ge1( [/mm] f' pos für kleine x)
Gruß leduart
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Ja, wenn man $b$ fest wählt, bekommt man irgendwie eine Lösung, Aber für beliebiges $b$?
Habe bereits eine graphische Unterstützung und da sieht man, dass $a$ im Vergleich zu $b$ nicht zu groß werden darf. Die Frage ist halt: Wie genau?
Die Ableitung zu benutzen ist aber eine gute Idee. Das hat mich auf die Lösung gebracht:
Da der Graph immer rechtsgekrümmt ist bei den Vorgaben für $a$ und $b$ wie oben, reicht es wohl zu vermeiden, dass die Ableitung für $x=1$ negativ wird.
Aus [mm] $f'(x)\ge [/mm] 0$ lässt sich dann folgern [mm] $b\ge [/mm] a$, was die erstaunlich simple Lösung ist. :)
Danke dir für die Ideen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Fr 31.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, dasselbe habe ich durch f# auch raus.
Gruss leduart
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