Lösungen von quadr. Gleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Di 16.03.2010 | | Autor: | neu_ling |
| Aufgabe | [mm] ax^{2}+bx+c=0
[/mm]
a, b, c werden zufällig gewählt mit Werten zwischen 1 und 6.
Gefragt: Wahrscheinlichkeit, dass alle Lösungen reell sind. |
Ich habe bis jetzt leider noch keine bestimmte Ahnung, wie ich das Problem lösen soll. Ich könnte ganz einfach alle Möglichkeiten aufzeigen. Insgesamt gibt es ja [mm] 6^{3} [/mm] Möglichkeiten.
Aber es geht bestimmt auch einfacher. Was ich vielleicht anwenden könnte, ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung mit
[mm] b^{2} \ge [/mm] 4ac.
Jedoch hört's da schon auf.
Kann mir jemand helfen?
Gruss neu_ling!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Di 16.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm]ax^{2}+bx+c=0[/mm]
> a, b, c werden zufällig gewählt mit Werten zwischen 1
> und 6.
> Gefragt: Wahrscheinlichkeit, dass alle Lösungen reell
> sind.
> Ich habe bis jetzt leider noch keine bestimmte Ahnung, wie
> ich das Problem lösen soll. Ich könnte ganz einfach alle
> Möglichkeiten aufzeigen. Insgesamt gibt es ja [mm]6^{3}[/mm]
> Möglichkeiten.
> Aber es geht bestimmt auch einfacher. Was ich vielleicht
> anwenden könnte, ist die Diskriminante einer quadratischen
> Gleichung mit
> [mm]b^{2} \ge[/mm] 4ac.
Richtig, Du suchst Die Wahrscheinlichkeit, daß der Term unter der Wurzel nicht negativ ist.
Das Problem ist, daß wir keine Ahnung haben, wie die a, b und c verteilt sind. Gleichverteilt auf den natürlichen Zahlen? Reellen Zahlen?
Vor allem, sind die drei identisch und unabhängig verteilt?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Di 16.03.2010 | | Autor: | neu_ling |
> Das Problem ist, daß wir keine Ahnung haben, wie die a, b und c verteilt sind. Gleichverteilt auf den natürlichen Zahlen? Reellen Zahlen?
Jede Zahl hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, weil sie mit einem Laplace-Würfel bestimmt wird.
[mm] P(b_{1})=P(b_{2})=P(b_{3})=P(b_{4})=P(b_{5})=P(b_{6})=1/6
[/mm]
Jetzt hab ich mir gedacht, dass ich alle einzelnen Wahrscheinlichkeiten von [mm] P(b_{j}), [/mm] j={1,2,3,4,5,6} durch a und c ausdrücken muss. Aber ich weiss nicht, wie das gehen könnte...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Di 16.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> > Das Problem ist, daß wir keine Ahnung haben, wie die a, b
> und c verteilt sind. Gleichverteilt auf den natürlichen
> Zahlen? Reellen Zahlen?
>
> Jede Zahl hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, weil sie mit
> einem Laplace-Würfel bestimmt wird.
>
> [mm]P(b_{1})=P(b_{2})=P(b_{3})=P(b_{4})=P(b_{5})=P(b_{6})=1/6[/mm]
>
> Jetzt hab ich mir gedacht, dass ich alle einzelnen
> Wahrscheinlichkeiten von [mm]P(b_{j}),[/mm] j={1,2,3,4,5,6} durch a
> und c ausdrücken muss. Aber ich weiss nicht, wie das gehen
> könnte...
Was Du suchst ist das ![[]](/images/popup.gif) Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit:
[mm] $P(b^2\geq 4ac)=\sum_{j=1}^6 P(b^2\geq [/mm] 4ac\ |\ [mm] b=j)P(b=j)=\sum_{j=1}^6 P(4ac\leq j^2)\frac1{6}$
[/mm]
und jetzt das ganze analog für c (oder a), um [mm] $P(4ac\leq j^2)$ [/mm] zu berechnen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Di 16.03.2010 | | Autor: | neu_ling |
wenn ich das analog zu dir mache, komm ich auf sowas... sieht ein bisschen komisch aus ^^
[mm] \summe_{i=1}^{6}P(b^{2}\ge4ac|b=i)P(b=j)=\summe_{j=1}^{6}\summe_{i=1}^{6}P(b^{2}\ge4aj|b=i,c=j)P(b=i)P(c=j)=\summe_{j=1}^{6}\summe_{i=1}^{6}P(a \le i^{2}/(4j))(1/6)^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Di 16.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm]\summe_{i=1}^{6}P(b^{2}\ge4ac|b=i)P(b=j)=\summe_{j=1}^{6}\summe_{i=1}^{6}P(b^{2}\ge4aj|b=i,c=j)P(b=i)P(c=j)=\summe_{j=1}^{6}\summe_{i=1}^{6}P(a \le i^{2}/(4j))(1/6)^{2}[/mm]
>
das paßt. Ich würde aber die beiden Summen umdrehen zu
[mm] $\frac{1}{36}\summe_{i=1}^{6}\summe_{j=1}^{6}P(a \le \frac{i^{2}}{4j})$
[/mm]
d.h. zuerst einen Wert von i (bzw. b) fest wählen, dann schauen, was für verschiedene Werte von j (d.h. c) rauskommt.
Ist aber grundsätzlich natürlich wurscht, in welcher Reihenfolge man die Optionen abarbeitet.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Mi 17.03.2010 | | Autor: | neu_ling |
ich habe schlussendlich eine Wahrscheinlichkeit von
[mm] \bruch{43}{216}
[/mm]
bin mir nicht sicher, ob das korrekt ist, aber ich denk schon.
danke für die hilfe :)
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