MWS der Differentialrechnung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] I\subset\IR^{+} [/mm] ein abgeschlossenes Intervall auf dem die Funktion
[mm] f:I\to\IR, x\mapsto\bruch{3x}{1+\wurzel{x}}
[/mm]
betrachtet wird. Bestimmen Sie eine Konstante K>0 so, dass für alle [mm] x,y\in [/mm] I gilt
[mm] |f(x)-f(y)|\le [/mm] K|x-y|. |
Zuerst mal meine Rechnung bisher:
Seien [mm] x,y\in [/mm] I, x<y beliebig aber fest
f ist stetig auf [x,y] und differenzierbar auf (x,y)
Es gibt ein [mm] \mu\in(x,y) [/mm] mit [mm] f(x)-f(y)=f'(\mu)(x-y)
[/mm]
[mm] f'(t)=\bruch{3(2+\wurzel{t})}{2(1+\wurzel{t})}
[/mm]
[mm] |f(x)-f(y)|=|f'(\mu)||x-y|=|\bruch{3(2+\wurzel{\mu})}{2(1+\wurzel{\mu})}||x-y|=|\bruch{3(1+\bruch{2}{\wurzel{\mu}})}{2(1+\bruch{1}{\wurzel{\mu}})}||x-y|
[/mm]
Das habe ich dazu bisher gerechnet
Frage lautet nun:
Wie komme ich nun weiter?
Meine Idee war zuerst folgendes:
[mm] |\bruch{3(1+\bruch{2}{\wurzel{\mu}})}{2(1+\bruch{1}{\wurzel{\mu}})}||x-y|\le\bruch{3}{2}|x-y|\Rightarrow K=\bruch{3}{2}, [/mm] da [mm] \limes_{\mu\rightarrow\infty}= \bruch{3}{2}
[/mm]
Allerdings stimmt die Gleichung für kleine [mm] \mu [/mm] nicht.
An dieser Stelle wäre ich für einen Tip dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Sa 09.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]I\subset\IR^{+}[/mm] ein abgeschlossenes Intervall auf
> dem die Funktion
>
> [mm]f:I\to\IR, x\mapsto\bruch{3x}{1+\wurzel{x}}[/mm]
>
> betrachtet wird. Bestimmen Sie eine Konstante K>0 so, dass
> für alle [mm]x,y\in[/mm] I gilt
>
> [mm]|f(x)-f(y)|\le[/mm] K|x-y|.
> Zuerst mal meine Rechnung bisher:
>
> Seien [mm]x,y\in[/mm] I, x<y beliebig aber fest
> f ist stetig auf [x,y] und differenzierbar auf (x,y)
>
> Es gibt ein [mm]\mu\in(x,y)[/mm] mit [mm]f(x)-f(y)=f'(\mu)(x-y)[/mm]
>
> [mm]f'(t)=\bruch{3(2+\wurzel{t})}{2(1+\wurzel{t})}[/mm]
Das stimmt nicht.
FRED
>
> [mm]|f(x)-f(y)|=|f'(\mu)||x-y|=|\bruch{3(2+\wurzel{\mu})}{2(1+\wurzel{\mu})}||x-y|=|\bruch{3(1+\bruch{2}{\wurzel{\mu}})}{2(1+\bruch{1}{\wurzel{\mu}})}||x-y|[/mm]
>
> Das habe ich dazu bisher gerechnet
> Frage lautet nun:
> Wie komme ich nun weiter?
> Meine Idee war zuerst folgendes:
>
> [mm]|\bruch{3(1+\bruch{2}{\wurzel{\mu}})}{2(1+\bruch{1}{\wurzel{\mu}})}||x-y|\le\bruch{3}{2}|x-y|\Rightarrow K=\bruch{3}{2},[/mm]
> da [mm]\limes_{\mu\rightarrow\infty}= \bruch{3}{2}[/mm]
>
> Allerdings stimmt die Gleichung für kleine [mm]\mu[/mm] nicht.
>
> An dieser Stelle wäre ich für einen Tip dankbar
>
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Stimmt hatte das Quadrat verschlampt
[mm] f'(t)=\bruch{3(2+\wurzel{t})}{2(1+\wurzel{t})^{2}}
[/mm]
[mm] |f(x)-f(y)|=|\bruch{3(2+\wurzel{\mu})}{2(1+\wurzel{\mu})^{2}}||x-y|
[/mm]
allerdings komme ich dann erst recht nicht weiter, da durch ausklammern dann bei einer Limes-Betrachtung der Term gegen 0 gehen würde
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Hallo Martin_Ph,
> siehe vorherige
> Stimmt hatte das Quadrat verschlampt
>
> [mm]f'(t)=\bruch{3(2+\wurzel{t})}{2(1+\wurzel{t})^{2}}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]|f(x)-f(y)|=|\bruch{3(2+\wurzel{\mu})}{2(1+\wurzel{\mu})^{2}}||x-y|[/mm]
>
> allerdings komme ich dann erst recht nicht weiter, da durch
> ausklammern dann bei einer Limes-Betrachtung der Term gegen
> 0 gehen würde
>
Die Funktion f(x) ist doch streng monoton.
Das heisst die maximale Differenz tritt an den Intervallgrenzen auf.
Diese musst Du dann geeignet abschätzen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Sa 09.05.2015 | | Autor: | bezier |
Hallo,
K = 3 genügt.
Beweisen nur mit Begrenzung von | f( x ) - f( y ) | ?
Mit x [mm] \ge [/mm] 0 und y [mm] \ge [/mm] 0 :
[mm] \sqrt{x} \ge [/mm] 0 => 1 + [mm] \sqrt{x} \ge [/mm] 1 =>
0 [mm] \le \frac{1}{1+\sqrt{x} } \le [/mm] 1
[mm] \sqrt{y} \ge [/mm] 0 => 1 + [mm] \sqrt{y} \ge [/mm] 1 =>
0 [mm] \le \frac{1}{1+\sqrt{y} } \le [/mm] 1
Dann :
0 [mm] \le \frac{1}{(1+\sqrt{x})(1 + \sqrt{y}) } \le [/mm] 1
0 [mm] \le \frac{3 | x - y |}{(1+\sqrt{x})(1 + \sqrt{y}) } \le [/mm] 3 | x - y |
d.h. :
0 [mm] \le [/mm] | f( x ) - f( y ) | [mm] \le [/mm] 3 | x - y |
Gruss.
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Hallo bezier,
> Hallo,
>
> K = 3 genügt.
> Beweisen nur mit Begrenzung von | f( x ) - f( y ) | ?
>
> Mit x [mm]\ge[/mm] 0 und y [mm]\ge[/mm] 0 :
> [mm]\sqrt{x} \ge[/mm] 0 => 1 + [mm]\sqrt{x} \ge[/mm] 1 =>
> 0 [mm]\le \frac{1}{1+\sqrt{x} } \le[/mm] 1
>
> [mm]\sqrt{y} \ge[/mm] 0 => 1 + [mm]\sqrt{y} \ge[/mm] 1 =>
> 0 [mm]\le \frac{1}{1+\sqrt{y} } \le[/mm] 1
>
> Dann :
> 0 [mm]\le \frac{1}{(1+\sqrt{x})(1 + \sqrt{y}) } \le[/mm] 1
> 0 [mm]\le \frac{3 | x - y |}{(1+\sqrt{x})(1 + \sqrt{y}) } \le[/mm]
> 3 | x - y |
> d.h. :
> 0 [mm]\le[/mm] | f( x ) - f( y ) | [mm]\le[/mm] 3 | x - y |
>
> Gruss.
>
Gruss
MathePower
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Wie kommt ihr denn aber auf K=3?
Auf die 3 müsste ich doch dann mit dem Rechenweg mit dem ich es probiere auch iwie kommen oder nicht?
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Hallo Martin_Ph,
> siehe oben
> Wie kommt ihr denn aber auf K=3?
>
Bringe f(x)-f(y) auf einen Nenner und schätze dann ab.
> Auf die 3 müsste ich doch dann mit dem Rechenweg mit dem
> ich es probiere auch iwie kommen oder nicht?
>
Hier musst Du dann die Ableitung abschätzen.
Gruss
MathePower
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