Masse bestimmen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Fr 08.07.2011 | | Autor: | Matrix22 |
| Aufgabe | | Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten (0,0), (1,0), und (0,2) dessen dichtefunktion p(x,y)=1+3x+y ist. Bestimmen sie die Masse des Dreiecks. |
Moin,
die lösung habe ich für die Aufgabe leider habe ich ein kleines verständigungs Problem:
[mm] m=\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{2-2x} [/mm] (1+3x+y)dy dx
Meine Frage ist wie bestimme ich das zweite integral oder auch das erste woher kommt 2-2x?
Kann mir jemand zwei Sätze dazu was sagen.
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Fr 08.07.2011 | | Autor: | Pappus |
> Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten (0,0), (1,0),
> und (0,2) dessen dichtefunktion p(x,y)=1+3x+y ist.
> Bestimmen sie die Masse des Dreiecks.
> Moin,
> die lösung habe ich für die Aufgabe leider habe ich ein
> kleines verständigungs Problem:
>
> [mm]m=\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{2-2x} (1+3x+y)dy dx[/mm]
>
> Meine Frage ist wie bestimme ich das zweite integral oder
> auch das erste
woher kommt 2-2x?
y = -2x +2 ist die Gleichung der Geraden, auf der die Dreiecksseite liegt, die nicht auf den Koordinatenachsen liegen.
> Kann mir jemand zwei Sätze dazu was sagen.
>
> Danke
Guten Abend!
Gehe der Reihe nach vor und zwar von innen nach außen:
1. [mm] $\integral_{0}^{2-2x}(1+3x+y)dy [/mm] = [mm] -4x^2+4$
[/mm]
Betrachte dabei x als Konstante und integriere nach y. Anschließend die Grenzen einsetzen - wie üblich - und zusammenfassen.
2. Integriere nun:
[mm] $\int_0^1 (-4x^2+4)dx$
[/mm]
auch wie üblich.
Gruß
Pappus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Fr 08.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie man integriert musst du eigentlich wissen!
du denkst dir das Gebiet in Streifen der Breite dy geteilt vor, dann rechnest du die "funktion der >masse in jedem Streifen aus. der Streifen hat aber an verschidenen Stellen verschiedene Längen. die hier durch die obere Seite des Dreiecks gegeben ist. zeichne es auf und bestimm die gleichung dieser Begrenzungsherraden,
danach summierst du über alle die Streifen in x richtung.
wenn du über dy integrierst behandelst du x wie eine Konstante,
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Sa 09.07.2011 | | Autor: | Matrix22 |
Mein Problem ist nicht wie man das Integral ausrechnet sondern wie ich das Integral bestimme ich weiss nicht warum y=2-2x ist hatte schon immer Probleme damit.Was sagt mir das wie kann man das anhand der Zeichnund nachvollziehe.
Habe hier noch ein Dreieck mit den werten (1,1) (2,1) (1,2)
Das erste Integral ist ja die strecke auf der x-achse von 1 bis 2 das ist mir klar aber beim zweiten integral ist die lösung 1 bis 3-x ich verstehe diesen term nicht wie kommt dieser zustanden.
Ich bitte um eine einfache erklärung.
Wie man integrale ausrechnet weiss ich aber das hilft mir nicht wenn ich die integrale nicht aufstelle oder ihre grenzen nicht erkenne.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Mein Problem ist nicht wie man das Integral ausrechnet
> sondern wie ich das Integral bestimme ich weiss nicht warum
> y=2-2x ist...
aber das hatte dir leduart doch schon erklärt: die obere Grenze des inneren Integrals ist die Bergrenzungsgerade des Dreiecks durch die Punkte (1,0) und (0,2). Stelle doch mal deren Gleichung auf...
Du kannst eine Dichtefunktion, die von zwei Variablen abhängig ist, ja auch als eine Fläche im [mm] \IR^{3} [/mm] auffassen. Dann entspricht der Berechnung der Wahrscheinlichkeit die Berechnung des Volumens zwischen dieser Fläche und der xy-Ebene innerhalb des vorgegebenen Dreiecks. Vielleicht hilft dir das ja, den Ansatz mit dem Doppelintegral besser zu verstehen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Sa 09.07.2011 | | Autor: | Matrix22 |
Wir reden vorbei.
Ich kann die integrationsgrenzen nicht ablesen beim 2. integral das sind doch basics.
wenn mann ein dreieck mit den punkten (0,0), (1,0), (0,2) hat verstehe ich nicht wie man bei dem 2. integral auf 0 bis 2-2x kommt bzw. es abliest oder was das bedeutet.
Die 2 ist ja ein schnitt auf der y-achse aber die -2x wie komme ich darauf!
Gruss Matrix22
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Sa 09.07.2011 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
nun, hast du dir die Zeichnung des Dreiecks schon erstellt?
Ich habe das nochmal gemacht, um die Rechnung daran veranschaulichen zu koennen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dort siehst du ein 2 dim. Koordinatensystem, wo die Eckpunkte des Dreiecks durch Dreiecke dargestellt sind (ich habe das erste Dreieck gewaehlt).
Nun willst du mit Hilfe von Integralen die Masse ausrechnen. Dass das mit einem solchen Flaechenintegral geht, weist du ja bestimmt, da man ja mit
[mm] $\rho(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ [/mm] die 'infinitesimale' Masse berechnet, die das Dreieck im Punkt $(x,y)$ besitzt. Das Integral hierrueber ist dann die Gesamtmasse, da man alle 'infinitesimalen Massen' aufsummiert.
Jetzt ist natuerlich die Frage, wie man ein solches Dreieck parametrisieren kann, was dann zu deiner Frage fuehrt.
Stelle dir also vor, dass du dein Dreieck in viele kleine Streifen aufteilen kannst, die von 'unten nach oben' gehen (das sind die kleinen roten Linien in meinem Bild). Dann kannst du die komplette Flaeche des Dreiecks ja dadurch rekonstruieren, indem du dir ziemlich viele von diesen kleinen Streifen vorstellst, und die dann alle schoen nebeneinander hinmalst.
Ein Streifen geht nun von $y=0$ los, und endet dort, wo auch dein Dreieck aufhoert. Das ist die blaue Verbindungslinie dort oben. Da du ja schon die Eckpunkte des Dreiecks kennst, kannst du ja die obere 'Endlinie' durch eine Geradengleichung beschreiben, die ich dir mal angebene habe (ich gehe stark davon aus, dass du weist, wie man die berechnet). Das bedeutet, wenn du nun ueber einen solchen Streifen integrieren willst, dann weist du, dass du von $y=0$ anfaengst und bis zu dem $y$ integrierst, wo es diese Verbindungslinie schneidet. Das ist der Punkt, den ich mit $(x,y(x))$ angegeben habe. Da du aber ja die Geradengleichung kennst, kannst du diesen Punkt direkt angeben: $(x,-2x+2)$.
D.h. dein 'Streifenintegral', aus dem du dann hinterher die ganze Flaeche zusammensetzt, lautet
[mm] $I(x)=\int_0^{-2x+2}\mathrm{d}y\,\rho(x,y)$
[/mm]
Waehrend du ueber diesen Streifen integrierst, ist $x$ aber festgehalten, es ist eine Konstante!
Jetzt fehlt natuerlich noch die $x$ Integration, da du ja die komplette Flaeche erwischen willst, und nicht nur einen 'kleinen' Streifen. Das bedeutet, du musst dieses Integral fuer alle verschiedenen $x$ berechnen und aufsummieren. Das machst du, indem du also ueber $I(x)$ integrierst, und somit alle verschiedenen Streifen aufsummierst und damit die ganze Flaeche erwischt. Da dein Dreieck ja gerade den $x$-Bereich von $0$ bis $1$ abdeckt, sind dort die Integrationsgrenzen $0$ und $1$, also musst du das Integral
[mm] $\int_0^1 \mathrm{d}x\,I(x)=\int_0^1\mathrm{d}x\,\int_0^{-2x+2}\mathrm{d}y\,\rho(x,y)$
[/mm]
berechnen.
Das bedeutet, dass die obere Integrationsgrenze $-2x+2$ von deinem Integral daher kommt, dass du dein Flaechenintegral in eine Summe ueber viele kleine Streifen zerlegst (das sind, wie schon geagt, die roten Streifen in meinem Bild), und da darfst du natuerilch nur von $y=0$ bis zu dem $y$ integrieren, das dann zu dem oberen Ende des Dreiecks gehoert, welches gerade, wenn man sich fuer ein $x$ entscheiden hat, durch diese Geradengleichung $y(x)$ gegeben ist.
Ich hoffe, jetzt ist es etwas klarer, warum die obere Integrationsgrenze von der $y$-Integration gerade durch diesen Ausdruck gegeben ist, und warum man das Flaechenintegral in lauter kleine 'Linien' unterteilen kann.
LG,
Kroni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Sa 09.07.2011 | | Autor: | Matrix22 |
Hey Kroni vielen dank habe es jetz verstanden.
habe die formel: y2-y1/x2-x1 angewendet und so die integrationsgrenze bekommen aber das von dir ist sehr ausführlich und anschaulich.
Danke nochmal.
Gruss Matrix22
|
|
|
|
