Maximalwert < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Mi 11.06.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Berechne den Maximalwert von
[mm] x^ay^bz^c [/mm] (x,y,z >0; a,b,c > 0 gegeben) unter der Bedingung [mm] x^k+y^k+z^k [/mm] =1 (k>0)
Schließen Sie daraus auf die Ungleichung
[mm] (\bruch{u}{a})^a(\bruch{v}{b})^b(\bruch{w}{c})^c \le (\bruch{u+v+w}{a+b+c})^{a+b+c} [/mm] |
hallo zusammen,
ich habe eine Probleme diese aufgabe zu lösen und hoffe ihr könnt mir ein tipp geben.
also meine Idee wäre es mir Lagrange-Multiplikator zu machen,
d.h. sei [mm] f(x,y,z)=x^ay^bz^c [/mm] und Nebenbedingung [mm] g(x,y,z)=x^k+y^k+z^k-1=0, [/mm] dann ist
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=ax^{a-1}y^bz^c
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}= by^{b-1}x^az^c
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial z}=cz^{c-1}x^ay^b
[/mm]
[mm] \Rightarrow grad(f)=(ax^{a-1}y^bz^c, by^{b-1}x^az^c, cz^{c-1}x^ay^b)
[/mm]
und [mm] \bruch{\partial g}{\partial x}=kx^{k-1}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g}{\partial y}=ky^{k-1}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g}{\partial z}=kz^{k-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow grad(g)=(kx^{k-1},ky^{k-1}, kz^{k-1})
[/mm]
grad(f)- [mm] \lambda \cdot [/mm] grad(g)=0
1) [mm] ax^{a-1}y^bz^c-\lambda kx^{k-1}=0
[/mm]
2) [mm] by^{b-1}x^az^c-\lambda ky^{k-1}=0
[/mm]
3) [mm] cz^{c-1}x^ay^b- \lambda kz^{k-1}=0
[/mm]
dann habe ich versuch mir LGS zu lösen und habe dann erhalten
[mm] \lambda aky-\lambda [/mm] bkx=0 [mm] \Rightarrow [/mm] ay=bx
und [mm] \lambda akz-\lambda [/mm] ckx=0 [mm] \Rightarrow [/mm] az=cx
aber irgendwie komme ich nicht weiter. kann jemand mir helfen. ist es überhaupt richtig was ich da überlegt habe? bin für jede hilfe dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Mi 11.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Berechne den Maximalwert von
> [mm]x^ay^bz^c[/mm] (x,y,z >0; a,b,c > 0 gegeben) unter der
> Bedingung [mm]x^k+y^k+z^k[/mm] =1 (k>0)
>
> Schließen Sie daraus auf die Ungleichung
> [mm](\bruch{u}{a})^a(\bruch{v}{b})^b(\bruch{w}{c})^c \le (\bruch{u+v+w}{a+b+c})^{a+b+c}[/mm]
>
> hallo zusammen,
> ich habe eine Probleme diese aufgabe zu lösen und hoffe
> ihr könnt mir ein tipp geben.
> also meine Idee wäre es mir Lagrange-Multiplikator zu
> machen,
>
> d.h. sei [mm]f(x,y,z)=x^ay^bz^c[/mm] und Nebenbedingung
> [mm]g(x,y,z)=x^k+y^k+z^k-1=0,[/mm] dann ist
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=ax^{a-1}y^bz^c[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}= by^{b-1}x^az^c[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial z}=cz^{c-1}x^ay^b[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow grad(f)=(ax^{a-1}y^bz^c, by^{b-1}x^az^c, cz^{c-1}x^ay^b)[/mm]
>
> und [mm]\bruch{\partial g}{\partial x}=kx^{k-1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial g}{\partial y}=ky^{k-1}[/mm]
> [mm]\bruch{\partial g}{\partial z}=kz^{k-1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow grad(g)=(kx^{k-1},ky^{k-1}, kz^{k-1})[/mm]
>
> grad(f)- [mm]\lambda \cdot[/mm] grad(g)=0
>
> 1) [mm]ax^{a-1}y^bz^c-\lambda kx^{k-1}=0[/mm]
> 2)
> [mm]by^{b-1}x^az^c-\lambda ky^{k-1}=0[/mm]
> 3) [mm]cz^{c-1}x^ay^b- \lambda kz^{k-1}=0[/mm]
Soweit ist alles richtig.
>
> dann habe ich versuch mir LGS zu lösen
Obiges Gleichungssystem ist aber alles andere als linear !
> und habe dann
> erhalten
>
> [mm]\lambda aky-\lambda[/mm] bkx=0 [mm]\Rightarrow[/mm] ay=bx
> und [mm]\lambda akz-\lambda[/mm] ckx=0 [mm]\Rightarrow[/mm] az=cx
Wie bist Du denn darauf gekommen ?? Wo sind Deine Rechnungen ?
>
> aber irgendwie komme ich nicht weiter. kann jemand mir
> helfen. ist es überhaupt richtig was ich da überlegt
> habe?
Ohne Deine Rechnungen , kann ich das nicht beurteilen, da ich keine Lust habe, alles selbst zu rechnen.
FRED
> bin für jede hilfe dankbar
>
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mi 11.06.2014 | | Autor: | mimo1 |
ok,
1) [mm] ax^{a-1}y^bz^c-\lambda kx^{k-1}=0
[/mm]
2) [mm] by^{b-1}x^az^c-\lambda ky^{k-1}=0
[/mm]
3) [mm] cz^{c-1}x^ay^b- \lambda kz^{k-1}=0 [/mm]
ich multipliziere die 1) mit bx und 2) mit -ay und addiere sie zusammen. ich erhalte dann
1) 1) [mm] ax^{a-1}y^bz^c-\lambda kx^{k-1}=0
[/mm]
2') [mm] \lambda [/mm] aky - [mm] \lambda [/mm] bkx=0
3) [mm] cz^{c-1}x^ay^b- \lambda kz^{k-1}=0 [/mm]
ich multipliziere dann 1) mit cx und 3) mit -az und addiere beide gleichungen zusammen. ich erhalte dann:
1) 1) [mm] ax^{a-1}y^bz^c-\lambda kx^{k-1}=0
[/mm]
2') [mm] \lamdda [/mm] aky - [mm] \lambda [/mm] bkx=0 [mm] \Rightarrow \lamdda [/mm] aky = [mm] \lambda [/mm] bkx
3') [mm] \lambda akz-\lambda [/mm] ckx=0 [mm] \Rightarrow \lambda akz=\lambda [/mm] ckx
zu 2') [mm] \lamdda [/mm] aky = [mm] \lambda [/mm] bkx [mm] \Rightarrow [/mm] ay=bx ( da [mm] \lambda, [/mm] k sich herauskürzen lässt)
zu 3') [mm] \lambda akz=\lambda [/mm] ckx [mm] \Rightarrow [/mm] az=cx
wie mach ich weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mi 11.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> ok,
> 1) [mm]ax^{a-1}y^bz^c-\lambda kx^{k-1}=0[/mm]
> 2)
> [mm]by^{b-1}x^az^c-\lambda ky^{k-1}=0[/mm]
> 3) [mm]cz^{c-1}x^ay^b- \lambda kz^{k-1}=0[/mm]
>
> ich multipliziere die 1) mit bx und 2) mit -ay und addiere
> sie zusammen. ich erhalte dann
>
> 1) 1) [mm]ax^{a-1}y^bz^c-\lambda kx^{k-1}=0[/mm]
> 2') [mm]\lambda[/mm] aky -
> [mm]\lambda[/mm] bkx=0
?? Ich bekomme: [mm] bx^k=ay^k
[/mm]
FRED
> 3) [mm]cz^{c-1}x^ay^b- \lambda kz^{k-1}=0[/mm]
>
> ich multipliziere dann 1) mit cx und 3) mit -az und addiere
> beide gleichungen zusammen. ich erhalte dann:
>
> 1) 1) [mm]ax^{a-1}y^bz^c-\lambda kx^{k-1}=0[/mm]
> 2') [mm]\lamdda[/mm] aky -
> [mm]\lambda[/mm] bkx=0 [mm]\Rightarrow \lamdda[/mm] aky = [mm]\lambda[/mm] bkx
> 3') [mm]\lambda akz-\lambda[/mm] ckx=0 [mm]\Rightarrow \lambda akz=\lambda[/mm]
> ckx
>
> zu 2') [mm]\lamdda[/mm] aky = [mm]\lambda[/mm] bkx [mm]\Rightarrow[/mm] ay=bx ( da
> [mm]\lambda,[/mm] k sich herauskürzen lässt)
>
> zu 3') [mm]\lambda akz=\lambda[/mm] ckx [mm]\Rightarrow[/mm] az=cx
>
> wie mach ich weiter?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mi 11.06.2014 | | Autor: | mimo1 |
ja stimmt, da ist mir ein fehler unterlaufen. ich meine
[mm] ay^k= bx^k [/mm] und [mm] az^k [/mm] und [mm] cx^k.
[/mm]
wie mache ich weiter? muss ich dann nach eine wariable auflösen wie , z.b x oder y oder z und diese dann in der nebenbedingung einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mi 11.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> ja stimmt, da ist mir ein fehler unterlaufen. ich meine
>
> [mm]ay^k= bx^k[/mm]
> und
> [mm]az^k[/mm] und [mm]cx^k.[/mm]
hier meinst Du wohl [mm] az^k=cx^k
[/mm]
>
> wie mache ich weiter? muss ich dann nach eine wariable
> auflösen wie , z.b x oder y oder z und diese dann in der
> nebenbedingung einsetzen?
Du bekommst dann [mm] y^k=\bruch{b}{a}x^k [/mm] und [mm] z^k=\bruch{c}{a}x^k [/mm]
Setze das in die Nebenbedingung ein. Dann solltest Du bekommen
[mm] x^k=\bruch{a}{a+b+c}, y^k=\bruch{b}{a+b+c} [/mm] und [mm] z^k=\bruch{c}{a+b+c}
[/mm]
Jetzt k-te Wurzel
FRED
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:15 Do 12.06.2014 | | Autor: | mimo1 |
danke für deine Hilfe.
man erhält dann [mm] y=\wurzel[k]{\bruch{b}{a+b+c} }, x=\wurzel[k]{\bruch{a}{a+b+c} }, z=\wurzel[k]{\bruch{c}{a+b+c} }. [/mm] Man setzt es dann in f ein
f(x,y,z)=( [mm] \wurzel[k]{\bruch{a}{a+b+c} })^a \cdot [/mm] ( [mm] \wurzel[k]{\bruch{b}{a+b+c} })^b \cdot [/mm] ( [mm] \wurzel[k]{\bruch{c}{a+b+c} })^c
[/mm]
wie kann ich weitermachen und wie komme ich zu der Ungleichung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 14.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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