Maximum bestimmen, 2 Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Di 11.12.2012 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Sie möchten eine Wanderung von A nach B unternehmen. Der Einfachheit halber habe A die Koordinaten [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] und B die Koordinaten [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] und wir nehmen an, dass Sie auf dem direkten Weg entlang der Verbindungsstrecke [mm] \vektor{t \\ t} [/mm] (0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1) gehen. Zwischen den Punkten A und B liegt ein Gebirge, dass der Gleichung z = 600x(1-y) genügt.
(a) Wo liegt der höchste Punkt, den Sie auf ihrer Wanderung erklimmen müssen ?
(b) Wie lang ist der gesamte Weg dieser Wanderung ? Schätzen Sie diese Länge zuerst ab und rechnen Sie dann! |
Hey Leute,
wieder mal ne Frage.
Und zwar:
Extrema bestimmt man im Mehrdimensionalen ja eigentlich gleich wie im Eindimensionalen, d.h. ich fange an die Ableitungen zu bestimmen:
z' = (600(1-y) , -600x)
Damit ein Extremum existieren kann, muss ja die 1. Ableitung = 0 sein:
(600(1-y), -600x) = (0,0)
Das ist der Fall bei dem Punkt [mm] \vektor{0 \\ 1}.
[/mm]
Mein Problem ist jetzt nur, dass der Punkt ja nicht wirklich auf der Direktverbindungsstrecke liegt, da beide Koordinaten nicht gleich sind ?!
Das Maximum sollte ja dann auch auf der Verbindungsstrecke sein, also Koordinaten der Form [mm] \vektor{t \\ t} [/mm] haben oder nicht ?
Was ist denn falsch an meinem Ansatz ?
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Hallo s1mn,
> Sie möchten eine Wanderung von A nach B unternehmen. Der
> Einfachheit halber habe A die Koordinaten [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> und B die Koordinaten [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] und wir nehmen an,
> dass Sie auf dem direkten Weg entlang der
> Verbindungsstrecke [mm]\vektor{t \\ t}[/mm] (0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 1) gehen.
> Zwischen den Punkten A und B liegt ein Gebirge, dass der
> Gleichung z = 600x(1-y) genügt.
> (a) Wo liegt der höchste Punkt, den Sie auf ihrer
> Wanderung erklimmen müssen ?
> (b) Wie lang ist der gesamte Weg dieser Wanderung ?
> Schätzen Sie diese Länge zuerst ab und rechnen Sie dann!
> Hey Leute,
>
> wieder mal ne Frage.
> Und zwar:
> Extrema bestimmt man im Mehrdimensionalen ja eigentlich
> gleich wie im Eindimensionalen, d.h. ich fange an die
> Ableitungen zu bestimmen:
>
> z' = (600(1-y) , -600x)
> Damit ein Extremum existieren kann, muss ja die 1.
> Ableitung = 0 sein:
>
> (600(1-y), -600x) = (0,0)
> Das ist der Fall bei dem Punkt [mm]\vektor{0 \\ 1}.[/mm]
> Mein
> Problem ist jetzt nur, dass der Punkt ja nicht wirklich auf
> der Direktverbindungsstrecke liegt, da beide Koordinaten
> nicht gleich sind ?!
>
> Das Maximum sollte ja dann auch auf der Verbindungsstrecke
> sein, also Koordinaten der Form [mm]\vektor{t \\ t}[/mm] haben oder
> nicht ?
>
Genau so sollte es sein.
Setze daher gemäß der Verbindungsstrecke x=y=t.
> Was ist denn falsch an meinem Ansatz ?
Die Verbindugsstrecke ist nicht berücksichtigt worden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mi 12.12.2012 | | Autor: | s1mn |
Ok d.h. ich habe im Prinzip dann folgendes:
z = 600x(1-y) [mm] \underbrace{=}_{x=y=t} [/mm] 600t - [mm] 600t^{2} [/mm] = z(t)
Dann berechne ich z':
z'(t) = 600 - 1200t
setzte z' = 0:
0 = 600 - 1200 t [mm] \gdw [/mm] t = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Und bekomme dann den höchsten Punkt bei t = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}} [/mm] mit der Höhe [mm] z(t=\bruch{1}{2}) [/mm] = 150.
Stimmt das soweit ?
Zur (b)
Ich hätte das jetzt mit folgender Definition gemacht:
Eine stückweise glatte Kurve [mm] \gamma [/mm] : [a,b] [mm] \to \IR^{n} [/mm] ist rektifizierbar, und es gilt:
[mm] L(\gamma) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\parallel \gamma' \parallel dt} [/mm]
Wobei [mm] L(\gamma) [/mm] ist die Länge von [mm] \gamma.
[/mm]
Ich hab dann [mm] \gamma(t) [/mm] = (600t(1-t)) genommen, bekomm dann allerdings als [mm] L(\gamma) [/mm] = 0 raus.
Muss ich da als Ansatz [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] \vektor{t \\ t \\ 600t(1-t)} [/mm] wählen ? Das würde doch die Strecke komplett mit allen 3 Koordinaten beschreiben oder nicht ?
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Hallo s1nm,
> Ok d.h. ich habe im Prinzip dann folgendes:
>
> z = 600x(1-y) [mm]\underbrace{=}_{x=y=t}[/mm] 600t - [mm]600t^{2}[/mm] =
> z(t)
>
> Dann berechne ich z':
>
> z'(t) = 600 - 1200t
>
> setzte z' = 0:
>
> 0 = 600 - 1200 t [mm]\gdw[/mm] t = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Und bekomme dann den höchsten Punkt bei t =
> [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}}[/mm] mit der Höhe
> [mm]z(t=\bruch{1}{2})[/mm] = 150.
> Stimmt das soweit ?
Ja.
>
> Zur (b)
> Ich hätte das jetzt mit folgender Definition gemacht:
> Eine stückweise glatte Kurve [mm]\gamma[/mm] : [a,b] [mm]\to \IR^{n}[/mm]
> ist rektifizierbar, und es gilt:
> [mm]L(\gamma)[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1}{\parallel \gamma' \parallel dt}[/mm]
> Wobei [mm]L(\gamma)[/mm] ist die Länge von [mm]\gamma.[/mm]
>
> Ich hab dann [mm]\gamma(t)[/mm] = (600t(1-t)) genommen, bekomm dann
> allerdings als [mm]L(\gamma)[/mm] = 0 raus.
>
> Muss ich da als Ansatz [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]\vektor{t \\ t \\ 600t(1-t)}[/mm]
> wählen ? Das würde doch die Strecke komplett mit allen 3
> Koordinaten beschreiben oder nicht ?
Ja, dieser Ansatz ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mi 12.12.2012 | | Autor: | s1mn |
Ok gut.
d.h. ich habe [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] \vektor{t\\t\\600t-600t^{2}}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow \gamma'(t) [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\600-1200t}
[/mm]
[mm] \parallel \gamma'(t) \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{1^{2} + 1^{2} + (600-1200t)^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{2 + (600-1200t)^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{1}{\wurzel{2 + (600-1200t)^{2}} dt}
[/mm]
Substitution: u = [mm] 2+(600-1200t)^{2}, [/mm] du = 2(600-1200t)*(-1200) dt [mm] \Rightarrow [/mm] dt = [mm] \bruch{du}{-2400(600-1200t)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{-2400(600-1200t)}\integral_{0}^{1}{\wurzel{u} du}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{-2400(600-1200t)} \bruch{u^{3/2}}{3/2} [/mm]
Rücksubstitution:
[mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] (2+(600-1200t)^{2})^{3/2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{-2400(600-1200t)}
[/mm]
Wenn ich jetzt t=1 und t=0 einsetze, bekomme ich als Ergebnis:
100- (-100) = 200.
Habe das Ergebnis mit Wolframalpha überprüft. Wolframalpha sagt mir, dass ungefähr 300 rauskommen sollte....
Findet jemand meinen Fehler ?
Oder stimmt mein Ergebnis ?
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Hallo s1nm,
> Ok gut.
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> d.h. ich habe [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]\vektor{t\\t\\600t-600t^{2}}.[/mm]
> [mm]\Rightarrow \gamma'(t)[/mm] = [mm]\vektor{1\\1\\600-1200t}[/mm]
>
> [mm]\parallel \gamma'(t) \parallel[/mm] = [mm]\wurzel{1^{2} + 1^{2} + (600-1200t)^{2}}[/mm]
> = [mm]\wurzel{2 + (600-1200t)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{1}{\wurzel{2 + (600-1200t)^{2}} dt}[/mm]
>
> Substitution: u = [mm]2+(600-1200t)^{2},[/mm] du =
> 2(600-1200t)*(-1200) dt [mm]\Rightarrow[/mm] dt =
> [mm]\bruch{du}{-2400(600-1200t)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{-2400(600-1200t)}\integral_{0}^{1}{\wurzel{u} du}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{-2400(600-1200t)} \bruch{u^{3/2}}{3/2}[/mm]
>
> Rücksubstitution:
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm] * [mm](2+(600-1200t)^{2})^{3/2}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{-2400(600-1200t)}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt t=1 und t=0 einsetze, bekomme ich als
> Ergebnis:
>
> 100- (-100) = 200.
> Habe das Ergebnis mit Wolframalpha überprüft.
> Wolframalpha sagt mir, dass ungefähr 300 rauskommen
> sollte....
> Findet jemand meinen Fehler ?
Die Substitution ist nicht richtig.
Die Substitution [mm]u=600-1200*t[/mm] führt auf ein Integral
auf das ebenfalls eine Substitution anzuwenden ist.
Natürlich können diese Substitutionen
auch zu einer einzigen Substitution zusammengefasst werden.
> Oder stimmt mein Ergebnis ?
Nein, Dein Ergbnis stimmt nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mi 12.12.2012 | | Autor: | s1mn |
Hmmm komme aber auf die selbe Stammfunktion, wie oben...
Substitution: u = 600 - 1200t, du = -1200 dt
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{-1200} \integral_{0}^{1}{\wurzel{2+u^{2}} du}
[/mm]
Substitution: s = [mm] 2+u^{2}, [/mm] ds = 2u du
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{-1200*2u} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{s} ds}
[/mm]
= [mm] \Rightarrow \bruch{1}{-1200*2u} [/mm] * [mm] \bruch{s^{3/2}}{3/2} [/mm] = [mm] \Rightarrow \bruch{1}{-1200*2u} [/mm] * [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] s^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Rücksubstitution: s = [mm] 2+u^{2}:
[/mm]
[mm] \bruch{1}{-1200*2u} [/mm] * [mm] \bruch{2}{3} (2+u^{2})^{3/2} [/mm]
Rücksubstitution: u = 600-1200t:
[mm] \bruch{1}{-1200*2(600-1200t)} [/mm] * [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] (2+(600-1200t)^{2})^{3/2}
[/mm]
Oder ist hier wieder irgendwo ein Bock drin ?
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Hallo s1nm,
> Hmmm komme aber auf die selbe Stammfunktion, wie oben...
>
> Substitution: u = 600 - 1200t, du = -1200 dt
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{-1200} \integral_{0}^{1}{\wurzel{2+u^{2}} du}[/mm]
>
> Substitution: s = [mm]2+u^{2},[/mm] ds = 2u du
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{-1200*2u}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{s} ds}[/mm]
>
Bei einer Substitution mußt Du alles ersetzen.
Es darf demnach kein u mehr vorkommen.
> = [mm]\Rightarrow \bruch{1}{-1200*2u}[/mm] * [mm]\bruch{s^{3/2}}{3/2}[/mm] =
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{-1200*2u}[/mm] * [mm]\bruch{2}{3}[/mm] *
> [mm]s^{\bruch{3}{2}}[/mm]
> Rücksubstitution: s = [mm]2+u^{2}:[/mm]
> [mm]\bruch{1}{-1200*2u}[/mm] * [mm]\bruch{2}{3} (2+u^{2})^{3/2}[/mm]
> Rücksubstitution: u = 600-1200t:
> [mm]\bruch{1}{-1200*2(600-1200t)}[/mm] * [mm]\bruch{2}{3}[/mm] *
> [mm](2+(600-1200t)^{2})^{3/2}[/mm]
>
> Oder ist hier wieder irgendwo ein Bock drin ?
Ja, siehe oben.
Gruss
MathePower
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