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Forum "Funktionen" - Maximum einer Funktion
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Maximum einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:49 Mo 25.08.2008
Autor: jokerose

Aufgabe
Finde das Maximum der folgenden Funktion auf [mm] \IR: [/mm]

f(x) = [mm] \bruch{2*sin(x)}{cos^3(x)}, [/mm] für x [mm] \in [-\pi/4,\pi/4] [/mm]

Ich habe zuerst die Funktion abgeleitet und danach gleich 0 gesetzt, um so die Extremstellen zu finden. Doch dies ging nicht sehr gut.

Also zeige ich danach, dass f monoton wachsend ist. Dazu betrachtete ich die erste Ableitung und zeigte, dass diese immer grösser als 0 ist für x [mm] \in [-\pi/4,\pi/4]. [/mm]
Daraus kann man nun schliessen, dass das Maximum bei [mm] f(\bruch{\pi}{4}) [/mm] ist.
Ist mein Weg korrekt, oder gäbe es noch eine bessere Möglichkeit?
        
Bezug
Maximum einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:34 Mo 25.08.2008
Autor: barsch

Hi,

in der Tat kannst du zeigen, dass eine Funktion monoton steigend ist und ihren maximalen Funktionswert somit an der Intervallsgrenze annimmt.

Meine Ableitung lautet:

[mm] \bruch{2\cdot{}cos(x)*cos^3(x)+3*cos^2(x)*sin(x)*2sin(x)}{cos^6(x)} [/mm]

[mm] =\bruch{2\cdot{}cos^4(x)+6*cos^2(x)*sin^2(x)}{cos^6(x)} [/mm]

[mm] =\bruch{2\cdot{}cos^4(x)+6*cos^2(x)*(1-cos^2(x))}{cos^6(x)} [/mm]

[mm] =\bruch{2\cdot{}cos^4(x)+6*cos^2(x)-6*cos^4(x))}{cos^6(x)} [/mm]

[mm] =\bruch{-4\cdot{}cos^4(x)+6*cos^2(x)}{cos^6(x)} [/mm]

[mm] =\bruch{-2\cdot{}cos^4(x)(1-3*cos^2(x))}{cos^6(x)} [/mm]

[mm] =\bruch{-2*(1-3*cos^2(x))}{cos^2(x)} [/mm]

[mm] =\bruch{-2}{cos^2(x)}+6 [/mm]

Wenn ich mich da mal nicht verrechnet habe [kopfkratz3].

Aber im Endeffekt stützt es deine These.

[mm] \bruch{-2}{cos^2(x)}+6=0\gdw{x=cos^{-1}(\wurzel{\bruch{1}{3}})\approx0,955>\pi/4} [/mm]

Zudem

[mm] \bruch{-2}{cos^2(x)}+6>0 \forall{ x\in[-\pi/4,\pi/4]} [/mm] also f monoton wachsend und damit nimmt f maximalen Funktionswert bei [mm] \pi/4 [/mm] an.

Wie gesagt, ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet. [saumuede]

MfG barsch
Bezug
                
Bezug
Maximum einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:12 Mo 25.08.2008
Autor: schachuzipus

Hallo barsch,

> Hi,
>  
> in der Tat kannst du zeigen, dass eine Funktion monoton
> steigend ist und ihren maximalen Funktionswert somit an der
> Intervallsgrenze annimmt.
>  
> Meine Ableitung lautet:
>  
> [mm]\bruch{2\cdot{}cos(x)*cos^3(x)+3*cos^2(x)*sin(x)*2sin(x)}{cos^6(x)}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{2\cdot{}cos^4(x)+6*cos^2(x)*sin^2(x)}{cos^6(x)}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{2\cdot{}cos^4(x)+6*cos^2(x)*(1-cos^2(x))}{cos^6(x)}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{2\cdot{}cos^4(x)+6*cos^2(x)-6*cos^4(x))}{cos^6(x)}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{-4\cdot{}cos^4(x)+6*cos^2(x)}{cos^6(x)}[/mm] [ok]
>  
> [mm]=\bruch{-2\cdot{}cos^4(x)(1-3*cos^2(x))}{cos^6(x)}[/mm] [notok]

Hier hast etwas zu viel ausgeklammert, klammere besser [mm] $\cos^{\red{2}}(x)$ [/mm] aus

$... [mm] =\frac{\cos^2(x)\cdot{}\left[-4\cos^2(x)+6\right]}{\cos^6(x)}$ [/mm]

[mm] $=\frac{6-4\cos^2(x)}{\cos^4(x)}$ [/mm]

Nun ist [mm] $4\cos^2(x)\le [/mm] 4$, also das ganze Teil positiv ...

LG

schachuzipus

>  
> [mm]=\bruch{-2*(1-3*cos^2(x))}{cos^2(x)}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{-2}{cos^2(x)}+6[/mm]
>  
> Wenn ich mich da mal nicht verrechnet habe [kopfkratz3].
>  
> Aber im Endeffekt stützt es deine These.
>  
> [mm]\bruch{-2}{cos^2(x)}+6=0\gdw{x=cos^{-1}(\wurzel{\bruch{1}{3}})\approx0,955>\pi/4}[/mm]
>  
> Zudem
>
> [mm]\bruch{-2}{cos^2(x)}+6>0 \forall{ x\in[-\pi/4,\pi/4]}[/mm] also
> f monoton wachsend und damit nimmt f maximalen
> Funktionswert bei [mm]\pi/4[/mm] an.
>  
> Wie gesagt, ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
> [saumuede]
>  
> MfG barsch

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