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| Aufgabe | Bestimmen sie $ [mm] \bigcup_{i \in I} M_{i}$ [/mm] und $ [mm] \bigcap_{i \in I} M_{i}$ [/mm] in den folgenden Fällen:
$ a) I:= [mm] \IN, M_{i}.= \{k \in \IZ , -i \leq k \leq i \} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I$
$ b) I:= [mm] \IR, M_{i}:=[i,i+1] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I$
$ c) I:= [mm] \IZ, M_{i}.= \{x \in \IN; \exists k \in \IZ$ mit $kx = i \} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I$
$d) I:= [mm] \IN, M_{i}.= \{\frac{z}{i}; z \in \IZ\} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I$ |
a)
$ [mm] \bigcup_{i \in I} M_{i} [/mm] = [mm] \bigcup_{i \in \IN} \{k \in \IZ , -i \leq k \leq i \} \forall [/mm] i [mm] \in \IN [/mm] = [mm] \{\IZ\}$
[/mm]
$ [mm] \bigcap_{i \in I} M_{i} [/mm] = [mm] \bigcap_{i \in \IN} \{k \in \IZ , -i \leq k \leq i \} \forall [/mm] i [mm] \in \IN =\{k\} [/mm] $
b)
$I:= [mm] \IR, M_{i}:=[i,i+1] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I$
$ [mm] \bigcup_{i \in I} M_{i} [/mm] = [mm] \bigcup_{i \in \IN} [/mm] [i,i+1] [mm] \forall [/mm] i [mm] \in \IN =\{\IR\} [/mm] $
beim schnitt habe ich keine idee :/
c) $I:= [mm] \IZ, M_{i}.= \{x \in \IN; \exists k \in \IZ$ mit $kx = i \} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I$
$ [mm] \bigcup_{i \in I} M_{i} [/mm] = [mm] \bigcup_{i \in \IN} \{x \in \IN; \exists k \in \IZ$ mit $kx = i \} \forall [/mm] i [mm] \in \IN [/mm] = [mm] \{\IZ\}$
[/mm]
beim durchschnitt weiss ich auch nicht
d)
I:= [mm] \IN, M_{i}.= \{\frac{z}{i}; z \in \IZ\} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I
$ [mm] \bigcup_{i \in I} M_{i} [/mm] = [mm] \bigcup_{i \in \IN} \{\frac{z}{i}; z \in \IZ\} \forall [/mm] i [mm] \in \IN [/mm] = [mm] \{\IQ\}$
[/mm]
$ [mm] \bigcap_{i \in I} M_{i} [/mm] = [mm] \bigcap_{i \in \IN} \{\frac{z}{i}; z \in \IZ\} \forall [/mm] i [mm] \in \IN [/mm] = [mm] \{\emptyset\}$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Sa 09.05.2015 | | Autor: | sissile |
a)
Bezüglich des Durchschnittes. Was soll k als Antwort sein?
[mm] \bigcap_{i\in M_i} [/mm] = [mm] \{ x: x \in M_i \forall i \in I\}
[/mm]
0 ist z.B sicher in jedem der [mm] M_i [/mm] denn -i [mm] \le [/mm] 0 [mm] \le [/mm] i für alle i [mm] \in \IN.
[/mm]
Gehört bei euch 0 auch zu den natürlichen Zahlen? Denn dann besteht der Durschnitt nur aus 0.
b)
Es gibt i,j [mm] \in \IR [/mm] sodass [mm] M_i \cap M_j [/mm] = [mm] \emptyset [/mm]
Dementsprechend ist $ [mm] \bigcap_{i \in I} M_{i} [/mm] $ = [mm] \emptyset
[/mm]
c)
Für den Durchschnitt:
Du suchst ein x in den natürlichen Zahlen sodass [mm] x\in M_i \forall [/mm] i [mm] \in \IZ
[/mm]
z.B : x [mm] \in M_1: \exists [/mm] k [mm] \in \IZ: [/mm] kx=1
D.h. k=1/x
Da k eine ganze Zahl sein muss und x natürlich ist käme nur x=1 in Frage.
Andererseits ist x=1 auch in allen [mm] M_i. [/mm] Daraus folgt, dass der Durchschnitt nur aus 1 besteht.
Liebe Grüße,
sissi
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hallo bei uns ist [mm] \IN [/mm] ohne 0 also müsste dann der der schnitt nicht nur aus aus [mm] \{1,-1\} [/mm] bestehen?
sind die vereinigugen denn richtig und die d) auch?
lieben gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mo 11.05.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo
Ja dann ist bei a)
[mm] \bigcap_{i \in I} M_{i} [/mm] = [mm] \bigcap_{i \in \IN} \{k \in \IZ | -i \leq k \leq i \}=\{0,1,-1\}
[/mm]
Übrigens du brauchst da nicht [mm] \forall [/mm] i [mm] \in \IN [/mm] nochmals hinter den Durschnitt/Vereinigung zu schreiben sowie du es in Beitrag 1 gemacht hast. Du bildest ja schon mit [mm] \bigcap_{i\in\IN}M_i, [/mm] den Durschnitt über alle [mm] M_i [/mm] mit i [mm] \in \IN. [/mm] Da hat nochmal [mm] \forall [/mm] i [mm] \in \IN [/mm] nichts verloren.
Ja ich denke alles was ich nicht in betrag 2 bemängelt habe ist korrekt.
LG,
sissi
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