Minimierungsproblem < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] A\in\IR^{m\times n} [/mm] und [mm] b\in\IR^{m} [/mm] mit n>m und rank(A)=n gegeben. Zeigen Sie:
Wenn das Minimierungsproblem min [mm] ||Ax-b||^2
[/mm]
eine eindeutige Lösung x* [mm] \in\IR^{n} [/mm] besitzt, so erfüllt diese die Normalangleichung [mm] A^{T}Ax* [/mm] = [mm] A^{T}b [/mm] .
Gilt auch die Umkehrung?
Hinweis: Aus dem ersten Semester ist für [mm] v\in\IR^{n} [/mm] die Beziehung [mm] ||v||^2 [/mm] = <v,v> bekannt. Verwenden Sie zudem das hinreichende Optimalitätskriterium |
Frage ist nun wie ich hier vorzugehen hab. Komm nicht wirklich weit.
Das hinreichende Kriterium lautet ja: [mm] x_{0} [/mm] sei ein stationärer Punkt und f besitze in einer Umgebung [mm] U(x_{0}) [/mm] stetige partielle Ableitungen 2. Ordnung nach allen Variablen. Die Matrix H=... heißt Hesse-Matrix von f
Wie muss ich hier ansetzen?
Würde es evtl so versuchen:
Es gelte das hinreichende Optimalitätskriterium
[mm] A^{T}Ax* [/mm] = [mm] A^{T}b [/mm] = H // also [mm] A^{T}b [/mm] ist Hesse-Matrix
Dann weiß ich allerdings auch schon nicht mehr weiter
Weiß leider nicht was ich mit dem Skalarprodukt anfangen soll
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:10 Mo 09.11.2015 | | Autor: | fred97 |
Für [mm] x=(x_1,...,x_n) \in \IR^n [/mm] setze
[mm] f(x)=||Ax-b||^2.
[/mm]
Nutze zunächst den Hinweis: $f(x)=<Ax-b,Ax-b>$
Bestimme nun die partiellen Ableitungen [mm] f_{x_1},..., f_{x_n} [/mm] und setze diese =0.
Das führt auf das Gleichungssystem
$A^TAx=A^Tb$.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mi 11.11.2015 | | Autor: | Martin_Ph |
Danke für den guten tip konnte es damit lösen :)
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