Monot. + Lim rekursiver Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist eine rekursive Folge [mm] (a_{n}) [/mm] mit
[mm] a_{1} [/mm] = 1
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(a_{n} [/mm] + [mm] \frac{2}{a_{n}})
[/mm]
Zeigen sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] |
Nabend.
Ich habe bereits gezeigt, dass diese Folge beschränkt ist (mit 0 als untere Schranke) Nun muss ich noch zeigen, dass diese Folge monoton fallend oder steigend ist, um anschließend den Grenzwert berechnen zu dürfen.
n = 1 [mm] \quad a_{1} [/mm] = 1
n = 2 [mm] \quad 2_{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (a_{1} [/mm] + [mm] \frac{2}{a_{1}}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(1+2) [/mm] = [mm] \frac{3}{2}
[/mm]
Nun wollte ich durch vollständige Induktion zeigen, das [mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{n+1}.
[/mm]
Induktionsanfang: für n = 2 bereits gezeigt
induktionsschritt: sei [mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{n+1} [/mm] bereits gezeigt.
zeige [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_{n+2}
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{1}{2}(a_{n} [/mm] + [mm] \frac{2}{a_{n}}) [/mm] < [mm] \frac{1}{2}(a_{n+1} [/mm] + [mm] \frac{2}{a_{n+1}})
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow (a_{n} [/mm] + [mm] \frac{2}{a_{n}}) [/mm] < [mm] (a_{n+1} [/mm] + [mm] \frac{2}{a_{n+1}})
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow a_{n} [/mm] + [mm] \frac{2}{a_{n}} [/mm] < [mm] (\frac{1}{2}(a_{n} [/mm] + [mm] \frac{2}{a_{n}})) [/mm] + [mm] \frac{2}{(\frac{1}{2}(a_{n} + \frac{2}{a_{n}}))}
[/mm]
Hier zeige ich ja ein monotones Wachstum. Eigentlich müsste ich aber doch zeigen, das die Reihe monoton fällt, da sie sonst nicht 0 als eine untere Schranke haben kann.
Die Zeichen einfach umdrehen geht aber auch nicht, da die Monotonie ja für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt. Was mache ich falsch? =)
Irgendwie habe ich das Gefühl, das ich eigentlich zeigen muss, das die Folge monoton fallend ist.
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> Gegeben ist eine rekursive Folge [mm](a_{n})[/mm] mit
> [mm]a_{1}[/mm] = 1
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}(a_{n}[/mm] + [mm]\frac{2}{a_{n}})[/mm]
> Zeigen sie, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm]
> Nabend.
> Ich habe bereits gezeigt, dass diese Folge beschränkt ist
> (mit 0 als untere Schranke) Nun muss ich noch zeigen, dass
> diese Folge monoton fallend oder steigend ist, um
> anschließend den Grenzwert berechnen zu dürfen.
>
> n = 1 [mm]\quad a_{1}[/mm] = 1
> n = 2 [mm]\quad 2_{2}[/mm] = [mm]\frac{1}{2} (a_{1}[/mm] + [mm]\frac{2}{a_{1}})[/mm]
> = [mm]\frac{1}{2}(1+2)[/mm] = [mm]\frac{3}{2}[/mm]
>
> Nun wollte ich durch vollständige Induktion zeigen, das
> [mm]a_{n}[/mm] < [mm]a_{n+1}.[/mm]
>
> Induktionsanfang: für n = 2 bereits gezeigt ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
WAS hast du bereits gezeigt ?
> induktionsschritt: sei [mm]a_{n}[/mm] < [mm]a_{n+1}[/mm] bereits gezeigt.
> zeige [mm]a_{n+1}[/mm] < [mm]a_{n+2}[/mm]
> [mm]a_{n}[/mm] < [mm]a_{n+1}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a_{n}[/mm] + [mm]\frac{2}{a_{n}})[/mm] <
> [mm]\frac{1}{2}(a_{n+1}[/mm] + [mm]\frac{2}{a_{n+1}})[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow (a_{n}[/mm] + [mm]\frac{2}{a_{n}})[/mm] < [mm](a_{n+1}[/mm] +
> [mm]\frac{2}{a_{n+1}})[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow a_{n}[/mm] + [mm]\frac{2}{a_{n}}[/mm] <
> [mm](\frac{1}{2}(a_{n}[/mm] + [mm]\frac{2}{a_{n}}))[/mm] +
> [mm]\frac{2}{(\frac{1}{2}(a_{n} + \frac{2}{a_{n}}))}[/mm]
>
> Hier zeige ich ja ein monotones Wachstum. Eigentlich
> müsste ich aber doch zeigen, das die Reihe monoton fällt,
> da sie sonst nicht 0 als eine untere Schranke haben kann. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Die Folge <1,2,3,4,5, .....> ist sicher nicht im Verdacht,
monoton fallend zu sein, trotzdem hat sie die untere
Schranke Null.
> Die Zeichen einfach umdrehen geht aber auch nicht, da die
> Monotonie ja für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt. Was mache ich
> falsch? =)
> Irgendwie habe ich das Gefühl, das ich eigentlich zeigen
> muss, das die Folge monoton fallend ist.
Hallo Soinapret,
ich habe deine Rechnung gar nicht im Detail durchge-
sehen, aber ich denke, dass du auf einem falschen
Gleis bist, denn diese Folge ist nicht monoton !
Hast du denn mal ein paar Glieder der Folge tatsächlich
berechnet und angeschaut ?
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 Fr 06.11.2009 | | Autor: | etoxxl |
Meiner Meinung nach ist die Folge monoton fallend.
Hierfür muss man doch zeigen: [mm] a_{n}-a_{n+1} [/mm] > 0
Mit einigen Umformungen ist das möglich:
Aus [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(a_{n}+\bruch{2}{a_{n}})
[/mm]
folgt: [mm] a_{n} [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{a_{n+1}^{2}}
[/mm]
Also muss: [mm] a_{n+1}^{2} [/mm] > 0 sein um zu zeigen, dass es monoton fallende Folge ist.
Aus [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(a_{n}+\bruch{2}{a_{n}}) [/mm] folgt
[mm] a_{n+1}^{2}-2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(a_{n}-\bruch{2}{a_{n}})^{2} \ge [/mm] 0
Und da [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 und [mm] a_{n} [/mm] monoton fallend existiert ein Grenzwert.
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Hallo,
> Meiner Meinung nach ist die Folge monoton fallend.
gut, wir haben ja meinungsfreiheit! 
> Hierfür muss man doch zeigen: [mm]a_{n}-a_{n+1}[/mm] > 0
>
> Mit einigen Umformungen ist das möglich:
> Aus [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(a_{n}+\bruch{2}{a_{n}})[/mm]
> folgt: [mm]a_{n}[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{a_{n+1}^{2}}[/mm]
>
das sehe ich bei bestem willen nicht, kannst du das mal etwas genauer erklaeren?
> Also muss: [mm]a_{n+1}^{2}[/mm] > 0 sein um zu zeigen, dass es
> monoton fallende Folge ist.
>
> Aus [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(a_{n}+\bruch{2}{a_{n}})[/mm] folgt
>
> [mm]a_{n+1}^{2}-2[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}(a_{n}-\bruch{2}{a_{n}})^{2} \ge[/mm]
> 0
>
> Und da [mm]a_{n} \ge[/mm] 0 und [mm]a_{n}[/mm] monoton fallend existiert ein
> Grenzwert.
Merkwuerdig nur, dass bereits [mm] $a_1=1$ [/mm] und [mm] $a_2=1.5$ [/mm] die von dir bewiesene aussage widerlegen...
monotone gruesse
Matthias
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> Wenn ich aber sage: Für [mm]\red{n \ge1}[/mm] ist [mm]a_{n}-a_{n+1} \ge0[/mm] ,
> kann ich dann behaupten, sie wäre monoton fallend?
du meinst wohl für [mm] $\blue{n\ge2}$ [/mm] ...
für n=1 ist ja nach wie vor: [mm] $a_{n}-a_{n+1}=a_1-a_2=1-1,5<0$ [/mm] !
> für n=1: [mm]a_{2}=\bruch{1}{2}( a_{1}+ \bruch{2}{a_{1}}) = 1,5[/mm]
>
> für n=2: [mm]a_{3}=\bruch{1}{2}( a_{2}+ \bruch{2}{a_{2}}) = 1,41666...[/mm]
>
> für n=3: [mm]a_{4}=\bruch{1}{2}( a_{3}+ \bruch{2}{a_{3}}) < 1,41666...[/mm]
>
> usw.
Hallo etoxxl,
tatsächlich ist die Folge ab dem zweiten Glied
monoton fallend, und für das Monotoniever-
halten in Bezug auf die Konvergenz ist natürlich
nur die "finale Monotonie" einer Folge ab einem
bestimmten Index wesentlich. So gesehen hast
du natürlich Recht. Man kann den Induktions-
beweis für die Monotonie hier einfach nicht
bei n=1, sondern erst bei n=2 verankern.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:10 Sa 07.11.2009 | | Autor: | MatthiasKr |
Hi,
> > Hallo,
> >
> > > Meiner Meinung nach ist die Folge monoton fallend.
> >
> > gut, wir haben ja meinungsfreiheit!
> >
> Hehe 
> >
> > Merkwuerdig nur, dass bereits [mm]a_1=1[/mm] und [mm]a_2=1.5[/mm] die von dir
> > bewiesene aussage widerlegen...
>
> Wenn ich aber sage: Für n [mm]\ge[/mm] 1 ist [mm]a_{n}-a_{n+1} \ge[/mm] 0,
> kann ich dann behaupten, sie wäre monoton fallend?
>
> für n=1: [mm]a_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}( a_{1}+ \bruch{2}{a_{1}}[/mm] ) =
> 1,5
>
> für n=2: [mm]a_{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}( a_{2}+ \bruch{2}{a_{2}}[/mm] ) =
> 1,41666...
>
> für n=3: [mm]a_{4}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}( a_{3}+ \bruch{2}{a_{3}}[/mm] ) <
> 1,41666...
>
ja, da hast du recht. Ich hatte von meinen eigenen mathe-studienzeiten (die leider immer weiter zurueckliegen) im gedaechtnis, dass die folge um [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] herum-alterniert, also abwechselnd groesser und kleiner als [mm] $\sqrt{2}$. [/mm] Stimmt aber nicht.
So kannst du also tatsaechlich mit monotonie argumentieren (wenn du sie sauber begruendest, ab n=2).
gruss
Matthias
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Hallo Matthias,
ich bin dem gleichen Irrtum erlegen.
Das Verhalten mit dem Alternieren um die Wurzel
herum hätte man dann, wenn man die Quotienten
[mm] \frac{2}{a_n} [/mm] ebenfalls als Glieder der Folge betrachten
würde, also zum Beispiel so:
[mm] $\Large{a_0=1}$
[/mm]
[mm] $\Large{a_{n+1}=\begin{cases} \frac{2}{a_n}&\normalsize{ \mbox{falls n gerade}} \\ \frac{a_{n-1}\ +\ a_n}{2}& \normalsize{\mbox{falls n ungerade}} \end{cases}}$
[/mm]
Gruß Al-Chw.
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