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| Aufgabe | Es sei f : G [mm] \to [/mm] G' ein Homomorphismus von Gruppen. Beweisen Sie folgende
Aussagen:
(2) Ist G einfach, d.h. {e} und G sind die einzigen Normalteiler von G, so ist f injektiv
oder es gilt f(x) = e für alle x [mm] \in [/mm] G.
(3) Es gilt f^−1(f(x)) = x kerf für alle x [mm] \in [/mm] G. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bislang habe ich mir jedmöglichen Satz angschaut, aber irgendwie komme ich nicht auf eine vernünftige Idee. Ich habe keine Ahnung womit ich anfangen soll?
Über einen Denkanstoß wäre ich dankbar!
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Grüße!
(2) ist nicht so schwer... versuche nachzuweisen, dass der Kern eines Homomorphismus immer ein Normalteiler ist (oder zitiere den entsprechenden Satz, wenn ihr den hattet). Dafür gibt es aufgrund der Einfachheit von $G$ nur zwei Möglichkeiten...
Und die (3) zeigt man, indem man beide Inklusionen zeigt.
Also so: Sei $y [mm] \in f^{-1}\big(f(x)\big)$. [/mm] Das bedeutet ja $f(y) = f(x)$. Nun ist zu zeigen, dass es ein $u [mm] \in \mbox{ker}f$ [/mm] gibt mit $y = xu$.
Und für die andere Inklusion wählt man sich ein $u [mm] \in \mbox{ker}f$ [/mm] beliebig und zeigt, dass $xu [mm] \in f^{-1}\big(f(x)\big)$, [/mm] d.h. dass $f(xu) = f(x)$ gilt.
Viel Erfolg!
Lars
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Zunächst mal vielen Dank!
Zu (2) in etwa so?:
Seien x,y [mm] \in [/mm] G mit f(x)=f(y)
[mm] e_{G'}=f(e_{G})=f(x^{-1})*f(x)=f(x^{-1})*f(y) \Rightarrow e_{G} =x^{-1}*y \gdw [/mm] x=y
mit(3) komme ich leider nicht zurecht. wie schließe ich denn von F(x)=f(y) und u [mm] \in [/mm] ker f mit [mm] F(u)=e_{G'} [/mm] auf y=xu?
Ist es so?: F(x)= f(y) [mm] =f(x)*e_{G'}= [/mm] f(x)*f(u)
Aber ist das äquivalent zu y=xu ? Ich kann doch nicht einfach f( ) weglassen oder?
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Hallo!
> Zu (2) in etwa so?:
> Seien x,y [mm]\in[/mm] G mit f(x)=f(y)
>
> [mm]e_{G'}=f(e_{G})=f(x^{-1})*f(x)=f(x^{-1})*f(y) \Rightarrow e_{G} =x^{-1}*y \gdw[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> x=y
Irgendwie kommt mir das seltsam vor... wieso soll denn aus $f(x^{-1}) \cdot f(y) = e$ folgen $x^{-1} \cdot y = e$? Da braucht man noch eine Voraussetzung!
Lies Dir nochmal meinen Hinweis zur (2) durch, den ich gegeben hatte. Der Kern eines Homomorphismus von Gruppen ist immer ein Normalteiler (entweder habt ihr das gemacht oder Du musst es zeigen!), also gibt es weil $G$ einfach ist nur zwei Möglichkeiten:
Fall 1: $\mbox{ker} f = G$. Dann ist der Homomorphismus konstant und schickt alles auf das Einselement in $G'$.
Fall 2: $\mbox{ker f = \{e\}$. Versuche mit der Voraussetzung nochmal zu zeigen, dass $f$ injektiv ist und dabei kannst Du die Umformungen oben brauchen.
> mit(3) komme ich leider nicht zurecht. wie schließe ich
> denn von F(x)=f(y) und u [mm]\in[/mm] ker f mit [mm]F(u)=e_{G'}[/mm] auf
> y=xu?
>
> Ist es so?: F(x)= f(y) [mm]=f(x)*e_{G'}=[/mm] f(x)*f(u)
> Aber ist das äquivalent zu y=xu ? Ich kann doch nicht
> einfach f( ) weglassen oder?
Du scheinst mir durcheinanderzuwerfen, was Du gegeben hast und was Du zeigen musst.
Also, für die eine Inklusion hast Du $x,y [mm] \in [/mm] G$ vorgegeben mit $f(x) = f(y)$ und willst zeigen, dass es dann ein $u [mm] \in \mbox{ker}f$ [/mm] gibt mit $y = xu$.
Definiere doch einfach mal $u := [mm] yx^{-1}$. [/mm] Das erfüllt nach leichter Umformung obige Gleichung und Du musst jetzt nur noch zeigen, dass $u [mm] \in \mbox{ker}f$ [/mm] gilt.
Für die andere Richtung wiederum hast Du $x,y,u [mm] \in [/mm] G$ mit $u [mm] \in \mbox{ker}f$ [/mm] und $y =xu$ gegeben und willst hier zeigen, dass $f(x) = f(y)$ gilt!
Alles klar? Denk mal darüber nach. 
Lars
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