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Ich bin gerade dabei die Nullstelle anhand einer Aufgabe nachzuvollziehen.
Meine konkrete Funktion ist folgende:
$ [mm] f(x)=2ln(x)-x+0,1x^{2} [/mm] $
Als naechstes wird in der Aufgabe die Ableitung gebildet.
$ [mm] f'(x)=\bruch{2}{x}-1+0,2x [/mm] $
als naechstes steht
[mm] x_{0} [/mm] = 2,5
Ich verstehe einfach nicht, woher die 2,5 kommt?
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Hallo,
die Nullstellen dieser Funktion kann man nicht analytisch berechnen. Laut meinem CAS liegt eine Nullstelle bei etwa
[mm] x\approx2.64
[/mm]
Vielleicht ist die gemeint?
Oder ich hätte noch eine Idee. Kann das sein, dass man die Nullstelle mit Hilfe eines Iterationsverfahrens wie bspw. dem Newton-Verfahren berechnen und dabei [mm] x_0=2.5 [/mm] als Startwert verwenden soll? In diesem Zusammenhang würde auch die Bestimmung der 1. Ableitung Sinn ergeben...
Du solltest wirklich deine Fragen besser vorbereiten und so originalgetreu wie nur irgend möglich posten.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Mareike85 |
In der Tat scheint das Newton Verfahren hier angewendet worden zu sein.
Das Problem ist, dass das in der Aufgabestellung keineswegs genannt worden ist. In der Aufgabenstellung steht nur, dass man mit der Funktion eine Kurvendiskussion durchfuehren, die Funktion zeichnen und begruenden soll, dass f genau eine Nullstelle hat.
Woran erkenne ich, welche Funktionen man analytisch berechnen kann bzw. wie seh ich sofort, dass ich das hier nicht kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> In der Tat scheint das Newton Verfahren hier angewendet
> worden zu sein.
> Das Problem ist, dass das in der Aufgabestellung
> keineswegs genannt worden ist. In der Aufgabenstellung
> steht nur, dass man mit der Funktion eine Kurvendiskussion
> durchfuehren, die Funktion zeichnen und begruenden soll,
> dass f genau eine Nullstelle hat.
Nun, prüfe mal die 1. Ableitung etwas genauer. Man kann zeigen, dass sie überall positiv ist. Was folgt daraus für die Grundfunktion und mit welchem Satz lässt sich nun begründen, dass f genau eine Nullstelle besitzt?
> Woran erkenne ich, welche Funktionen man analytisch
> berechnen kann bzw. wie seh ich sofort, dass ich das hier
> nicht kann?
Es geht nicht um das berechnen von Funktionen, sondern um das Lösen von Gleichungen. Und das ist doch der alte Hut: man kann algebraische Gleichungen bis zum Grad 4 in jedem Fall analytisch lösen, wobei 3. Ordnung und insbesondere 4. Ordnung insoweit wegfallen, als die Lösungsalgorithmen im Fall der 3. Ordnung anspruchsvoll und imFll der 4. Ordnung auch noch fürchterlich arbeitsintensiv sind. Andere Gleichungen lassen sich nur lösen, wenn man sie irgendwie auf algebraische Gleichungen der genannten Ordnungen zurückführen kann.
Die Gleichung
[mm] 2ln(x)-x+0,1x^{2}=0
[/mm]
kann man nicht lösen, da die Unbekannte als normale Potenz aber gleichzeitig im Logarithmus vorkommt.
Gruß, Diophant
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Deine Erklaerung zu dem Loesen von Gleichungen ist einleuchtend.
Du meinst Wahrscheinlich, dass man die Funktion auf Monotonie untersuchen muss. Dazu muss man die 1 Ableitung bilden, diese 0 setzen, in Form bringen und dann mit der pq Formel loesen.
Ich erhalte jetzt
$ [mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] 2,5\pm\wurzel{\bruch{25}{4}-10} [/mm] $
hier kommt aber etwas negatives unter der Klammer heraus, was ja nicht geht. Was heisst das nun?
Mir ist auch endlich klar geworden, wie man bei der Nullstellennaeherung mit 2,5 anfaengt. Wenn man wild Werte in die Funktion einsetzt findet irgendwann ein Vorzeichenwechsel statt, woran man erkennen kann, dass zwischen diesem Intervall sich irgendwo eine Nullstelle befindet. Sehr spannend das Ganze :)
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Hallo,
könntest du dir einmal angewöhnen, vollständige Rechnungen zu posten, am besten inkl. einer groben Skizze der dahinerstehenden Idee?
Ich habe keinerlei Ahnung, von was das oben die Lösung sein soll. Die erste Ableitung der vorgelegten Funktion ist definitiv überall auf dem gesamten Definitionsbereich von f positiv. Du musst hier schließlich beachten, dass nach wie vor der Definitionsbereich von f entscheidend ist. Dort kommt aber ein Logarithmus im Funktionsterm vor, und das sagt uns was?
Man könnte die Behauptung f'(x)>0 entweder durch erneute Kurvendiskussion zeigen (f' besitzt zwei Monotoniebereiche sowie ein Minimum mit positiver Ordinate), oder - und das ist sicherlich der elegantere Weg - über eine Ungleichung.
Gruß, Diophant
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Ja, da hast du allerding Recht, dass ich das sollte, weil ich ja schon so den Nagel nicht gerade auf den Punkt treffe.
Ok, nach meiner hier im Forum aktualisierten Vorstellung von Kurvendiskussion wuerde ich nun wie folgt vorgehen:
f(x) = 2ln(x) - x + [mm] 0,1x^{2}
[/mm]
Nullstelle:
f(x) = 2ln(x) - x + [mm] 0,1x^{2}
[/mm]
f'(x) [mm] \bruch{2}{x}-1+0,2x
[/mm]
[mm] x_{0}=2,5 [/mm] (geschaetz, weil in =-0,5 in diesem Intervall ein VVorzeichenwechsel stattfindet, was auf eine Nullstelle schliessen laesst
[mm] x_{1}=2,5-\bruch{f(2,5)}{f'(2,5)}=2,641
[/mm]
[mm] x_{2}=2,641-\bruch{f(2,641)}{f'(2,641)}
[/mm]
[mm] x_{3}=...2,645
[/mm]
Monotonie:
f'(x) [mm] \bruch{2}{x}-1+0,2x \*x
[/mm]
0= [mm] 0,2x^{2}-x+2
[/mm]
[mm] 0=x^{2}-5x+10
[/mm]
...pq Formel anwenden, wie beschrieben.
Normalerweise wuerde ich jetzt 3 Werte, jeweils einen links neben, zwischen und rechts von den in der pq Formel berechneten 0 stellen in die erste Ableitung fuer x einsetzen, um auf Monotonie zu testen.
Jetzt denk ich, dass dadruch, dass nur 2,5 bei der pq Formel herauskommt, das darauf schliesst, dass es nur eine Nullstelle gibt.
Weiter wuerde ich jetzt mit der Berechnung der Wendepunkte anhand der 2 Ableitung verfahren.
Soweit richtig?
Meine Frage waere auch noch, was genau der Begriff Extrema aussagt und wie man diesen berechnet, weil ich bis jetzt keinen Unterscheid zur Berechnung der Monotonie sehe, weil bei beiden doch mit der ersten Ableitung rumhandtiert wird?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 Do 21.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ja, da hast du allerding Recht, dass ich das sollte, weil
> ich ja schon so den Nagel nicht gerade auf den Punkt
> treffe.
>
> Ok, nach meiner hier im Forum aktualisierten Vorstellung
> von Kurvendiskussion wuerde ich nun wie folgt vorgehen:
>
> f(x) = 2ln(x) - x + [mm]0,1x^{2}[/mm]
>
> Nullstelle:
>
> f(x) = 2ln(x) - x + [mm]0,1x^{2}[/mm]
> f'(x) [mm]\bruch{2}{x}-1+0,2x[/mm]
>
> [mm]x_{0}=2,5[/mm] (geschaetz, weil in =-0,5
was soll das heissen? -0.5 liegt nicht im definitionsbereich der Funktion.
wenn in einem Punkt ein vorzeichenwechsel stattfindet, wäre die Fkt in dem punkt 0.
richtig ist: fur x gegen 0 geht die fkt gegen [mm] -\infty [/mm] (wegen des ln(x)
für x gegen unendlich soielt nur noch [mm] 0.1x^2 [/mm] ne Rolle spätestens ab [mm] x=\wurzel{10} [/mm] ist f(x) positiv. also muss mindestens eine nullstelle inzwischen 0 und [mm] \wurzel{10} [/mm] liegen.
>in diesem Intervall ein
> VVorzeichenwechsel stattfindet, was auf eine Nullstelle
> schliessen laesst
> [mm]x_{1}=2,5-\bruch{f(2,5)}{f'(2,5)}=2,641[/mm]
> [mm]x_{2}=2,641-\bruch{f(2,641)}{f'(2,641)}[/mm]
> [mm]x_{3}=...2,645[/mm]
>
> Monotonie:
>
> f'(x) [mm]\bruch{2}{x}-1+0,2x \*x[/mm]
> 0= [mm]0,2x^{2}-x+2[/mm]
> [mm]0=x^{2}-5x+10[/mm]
>
> ...pq Formel anwenden, wie beschrieben.
Dabei stellst du fest : keine nullstelle, also ist f# entweder immer positiv, oder immer negativ. da wir wissen, dass die fkt von 0 bis 10 steigt, ist f' also positiv. du kannst auch irgendeinen wert einsetzen, fesstellen f'(x1)>0 f# hat keine nst also f'>0 also kann die fkt nach der ersten nst. keine 2 te haben.
> Normalerweise wuerde ich jetzt 3 Werte, jeweils einen links
> neben, zwischen und rechts von den in der pq Formel
> berechneten 0 stellen in die erste Ableitung fuer x
> einsetzen, um auf Monotonie zu testen.
>
> Jetzt denk ich, dass dadruch, dass nur 2,5 bei der pq
das kommt doch nicht raus!
würdest du statt der dummen pq formel quadratische ergänzung benutzen (woraus man die pq formel herleitet hättest du [mm] f'(x)*x=0.2(x-5/2)^2+15/4 [/mm] und würdest sofort sehehn [mm] f'(x)*x\ge [/mm] 3.75>= (da x>0 auch f'(x)>0)
> Formel herauskommt, das darauf schliesst, dass es nur eine
> Nullstelle gibt.
>
> Weiter wuerde ich jetzt mit der Berechnung der Wendepunkte
> anhand der 2 Ableitung verfahren.
>
> Soweit richtig?
Nein!
Gruss leduart
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Das sollte +-0,5 heissen, da ich in jeweils 1, 2, 3 .. versuchsweise in die Funktion eingesetzt habe und gesehen habe, dass zwischen 2 und 3 ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Nach dem Newtonverfahren habe ich 2,645 raus.
Ist dieses nun eine Nullstelle oder nicht?
Die pq Formel ergibt bei mir
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] 2,5\pm\wurzel{\bruch{25}{4}-10}
[/mm]
Nur damit mit ich das jetzt richtig verstehe:
Wuerde hier jeweils ein x1 und x2 rauskommen, koennte ich doch wie beschrieben verfahren und so herausfinden, ob die Ableitungswerte links und rechts größer oder kleiner als Null sind d.h. ob Sie monton fallend oder steigend sind.
Was genau sagt mir die obere pq-Formel. Unter der Wurzel kommt was negatives raus, faellt doch also weg. Macht ein negatives Ergebnis unter der Klammer den ganzen Term ungueltig?
Inwiefern kann man hier ein Extrema erkennen (wie muesste der Term dafuer ausschauen?)
"Dabei stellst du fest : keine nullstelle, also ist f# entweder immer positiv, oder immer negativ. da wir wissen, dass die fkt von 0 bis 10 steigt, ist f' also positiv. du kannst auch irgendeinen wert einsetzen, fesstellen f'(x1)>0 f# hat keine nst also f'>0 also kann die fkt nach der ersten nst. keine 2 te haben. "
Den Teil verstehe ich nicht ganz. Koenntest du ihn mir nochmal anders erklaeren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Do 21.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
hallo mareike,
erstmal zu der wurzel. wenn bei der qp-formel oder bei der quadratischen ergänzung ein widerspruch (wie z.b. eine negative wurzel) herauskommt. heißt dass, das die ursprüngliche gleichung nicht lösbar war. dies bedeutet in deinem fall, dass die ableitng keine nullstelle hat. da die ableitung für x>0 stetig ist (d.h. man kann sie ohne den stift absetzten zu müssen zeichnen) kann die ableitung also entweder nur oberhalb der x-achse oder unterhalb der x-achse verlaufen.(x >0 denn nur dort ist ja der definitionsbereich der funktion) setzt man nun einen beliebigen punkt x>0 ein sieht man, dass die ableitung immer positiv ist. für deine funktion f(x) heißt das wiederum, dass sie streng monoton wachsend ist oder anders ausgedrückt. ist die funktion an einer stelle (nennen wir sie mal [mm] x_1) [/mm] positiv, ist sie für alle x-werte rechts von [mm] x_1 [/mm] auch positiv. bei dem logarithmus weiß man, wie bereits erwähnt wurde, dass der für x gegen 0 gegen minus unendlich läuft. also läuft hier die funktion auch gegen minus unendlich. deine funktion f ist ebenfalls in dem bereich x>0 stetig. also kann man auch die durchgängig ohne den stift absetzten zu küssen zeichnen. ein teil liegt unter der x-achse wegen [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}f(x)= -\infty [/mm] (limes darf man hier eigentlich nicht schreiben, nur wenn da was endliches steht, also nimm das nur als verdeutlichung). ein anderer oberhalb, dann muss es also eine nullstelle geben
Zitat:
"Dabei stellst du fest : keine nullstelle, also ist f# entweder immer positiv, oder immer negativ. da wir wissen, dass die fkt von 0 bis 10 steigt, ist f' also positiv. du kannst auch irgendeinen wert einsetzen, fesstellen f'(x1)>0 f# hat keine nst also f'>0 also kann die fkt nach der ersten nst. keine 2 te haben. "
Den Teil verstehe ich nicht ganz. Koenntest du ihn mir nochmal anders erklaeren?
Zitat Ende
das ist im prizip mit obiger erklärung auch abgehagt. strenge monotonie => einmal an der nullstelle vorbei geht es ja nicht mehr runter. also gibts auch keine zweite.
was wendepunkte angeht könnte man mit der zweiten ableitung weiter rechnen (also f''(x)=0) und muss dann mit der dritten ableitung prüfen, ob es wirklich wendepunkte waren.
ich hoffe das hilft dir
gruß bernhard
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:43 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Mareike85 |
Auch wenn meine Antwort ein wenig verzögert kommt: Das hat mir total geholfen. Unheimlich gut verständlich erklärt. Ich habe mir nochmal vor Augen geführt, wie sich die 2te Ableitung genau abzeichnet. Ich denke, ich bin jetzt schonmal nen gutes Stück weiter als am Anfang.
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