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Hallo,
wenn wir ein Polynom f(x) mit Grad n haben, das n Nullstellen besitzt mit [mm] x_1<..
Hat nun f(x) ein lokales Extremum an der Stelle b [mm] \in \IR, [/mm] dann gilt, dass [mm] x_1
Wir sollen hierauf den Mittelwertsatz anwenden, aber ich verstehe nicht warum.
Ich habe mir was anderes überlegt, ob es Sinn macht ist eine andere Frage.
Wenn wir eine Funktion haben, die zwei Nullstellen hat, dann hat diese Funktion ein lokales Extrema (min oder max, ist ja egal), während man von der einen Nullstelle zu der anderen Nullstelle geht.
Das heißt, zwischen diesen beiden Nullstellen, nimmt f irgendwo sein min oder max an. Wenn wir jetzt diese beiden Nullstellen als geschlossenes Intervall betrachten mit [mm] [x_1, x_2], [/mm] dann existiert nach dem Zwischenwertsatz ein b [mm] \in [/mm] [a,b], sodass f(b) entweder max oder min ist, mit [mm] x_1 [/mm] < b < [mm] x_n
[/mm]
Bei n Nullstellen kann man den Zwischenwertsatz n Mal anwenden. Diese Vorstellung von mir macht für mich mehr Sinn, als der Mittelwertsatz. Wo ist denn mein Denkfehler, dass ich hier nicht an den Mittelwertsatz denke? Ich weiß, dass für die Ableitung dann f'(x) = 0 gelten muss. Im Mittelwertsatz bedeutet das dann f'(x) = [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}, [/mm] macht für mich trotzdem keinen Sinn irgendwie. Warum brauche ich hier den Mittelwertsatz?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:05 Mi 07.12.2016 | | Autor: | fred97 |
Was ich nicht verstehe ist: " Wir sollen hierauf den Mittelwertsatz anwenden".
Vielleicht ist das gemeint: sei f ein Polynom vom Grad n mit den Nullstellen [mm] x_1,...,x_n, [/mm] wobei [mm] x_1
Hat nun f in b ein lokales Extremum, so ist $f'(b)=0$. b ist also eine Nullstelle von f'.
f' ist ein Polynom vom Grad n-1, hat also höchstens n-1 Nullstellen.
Für j [mm] \in \{2,...n\} [/mm] gilt nach dem Mittelwertsatz: es ex. ein [mm] c_j \in (x_{j-1},x_j) [/mm] mit
[mm] $f'(c_j)=\frac{f(x_j)-f(x_{j-1})}{x_j-x_{j-1}}=0$
[/mm]
Damit haben wir die n-1 Nullstellen von f' gefunden: [mm] c_1,...,c_{n-1}. [/mm] Für die gilt
[mm] x_1
also [mm] x_1
Also: [mm] x_1
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