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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Sa 14.11.2015 | | Autor: | Anmahi |
| Aufgabe | (1) [mm] z_{1} [/mm] = -1+2i ist eine Nullstelle des Polynoms [mm] z^{4} [/mm] - [mm] 2z^{3} [/mm] + [mm] 2z^{2} [/mm] - 10z + 25.
Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen des Polynoms.
(2) Bestimmen Sie die Nullstellen des Polynoms [mm] z^{5} [/mm] - [mm] 5iz^{4} [/mm] - [mm] 10z^{3} [/mm] + [mm] 10iz^{2} [/mm] +5z - i.
(3) 2+i und 3i sind Nullstellen von [mm] z^{6} [/mm] - [mm] 5z^{5} [/mm] + [mm] 16z^{4} [/mm] - [mm] 42z^{3} [/mm] + [mm] 53z^{2} [/mm] + 27z - 90.
Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen. |
zu 1)
Ich hab versucht das mit der Polynomdivision zu lösen:
[mm] (z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-10z+25) [/mm] / (z+1-2i) = [mm] z^{3}-3z^{2}+2z^{2}i+z-2zi-2i
[/mm]
[mm] -(z^{4}+3^{3}-2z^{3}i)
[/mm]
______________________
[mm] -3z^{3}+2z^{3}i+2z^{2}
[/mm]
[mm] -(-3z^{3}-3z^{2}+6zi)
[/mm]
______________________
[mm] 2z^{3}i+5z^{2}-6zi
[/mm]
[mm] -(2z^{3}i+2z^{2}i+4z^{2})
[/mm]
______________________
[mm] z^{2}-2z^{2}i-6zi-10z
[/mm]
[mm] -(z^{2}+z-2zi)
[/mm]
______________________
[mm] -2z^{2}i-4zi-11z
[/mm]
[mm] -(-2z^{2}i-2zi-2z)
[/mm]
______________________
-2zi-9z+25
-(-2zi-2i-4)
______________________
-9z+29+2i
an der Stelle komme ich nicht weiter, ich weiß auch nicht ob das so richtig ist. Wie kann man Nullstellen mit komplexen Zahlen ausrechnen?
zu 2)
An der Stelle würde ich auch Polynomdivision machen, aber wie komme ich auf die erste Nullstelle?
zu 3) Da hab ich das gleiche Problem wie bei Aufgabenteil 1, und ist es da egal welche Nullstelle ich von den beiden benutze für die Polynomdivision?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Sa 14.11.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> (1) [mm]z_{1}[/mm] = -1+2i ist eine Nullstelle des Polynoms [mm]z^{4}[/mm] -
> [mm]2z^{3}[/mm] + [mm]2z^{2}[/mm] - 10z + 25.
> Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen des Polynoms.
>
> (2) Bestimmen Sie die Nullstellen des Polynoms [mm]z^{5}[/mm] -
> [mm]5iz^{4}[/mm] - [mm]10z^{3}[/mm] + [mm]10iz^{2}[/mm] +5z - i.
>
> (3) 2+i und 3i sind Nullstellen von [mm]z^{6}[/mm] - [mm]5z^{5}[/mm] +
> [mm]16z^{4}[/mm] - [mm]42z^{3}[/mm] + [mm]53z^{2}[/mm] + 27z - 90.
> Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen.
>
> zu 1)
> Ich hab versucht das mit der Polynomdivision zu lösen:
> [mm](z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-10z+25)[/mm] / (z+1-2i) =
> [mm]z^{3}-3z^{2}+2z^{2}i+z-2zi-2i[/mm]
> [mm]-(z^{4}+3^{3}-2z^{3}i)[/mm]
> ______________________
> [mm]-3z^{3}+2z^{3}i+2z^{2}[/mm]
> [mm]-(-3z^{3}-3z^{2}+6zi)[/mm]
> ______________________
> [mm]2z^{3}i+5z^{2}-6zi[/mm]
> [mm]-(2z^{3}i+2z^{2}i+4z^{2})[/mm]
> ______________________
> [mm]z^{2}-2z^{2}i-6zi-10z[/mm]
> [mm]-(z^{2}+z-2zi)[/mm]
> ______________________
> [mm]-2z^{2}i-4zi-11z[/mm]
> [mm]-(-2z^{2}i-2zi-2z)[/mm]
> ______________________
> -2zi-9z+25
> -(-2zi-2i-4)
> ______________________
> -9z+29+2i
Hier hast du leider jedes mal ein z zuviel, in den Zeilen, die du subtrahierst.
Zun Üben der Polynomdivision (nur in $IR$) schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) dieses Skript an.
>
> an der Stelle komme ich nicht weiter, ich weiß auch nicht
> ob das so richtig ist. Wie kann man Nullstellen mit
> komplexen Zahlen ausrechnen?
Genauso, wie bei den reelen Nullstellen
[mm] x^4-2x^3+2x^2-10x+25 [/mm] hat übrigens die Nullstellen [mm] x_{1}=-1+2i, x_{2}=-1-2i, x_{3}=2-i [/mm] und [mm] x_{4}=2-i
[/mm]
>
> zu 2)
> An der Stelle würde ich auch Polynomdivision machen, aber
> wie komme ich auf die erste Nullstelle?
Das brauchst du hier nicht, wenn du dir mal das Pascalsche Dreieck anschaust, es gilt, nach eben diesem:
[mm] (a+b)^{5}=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
[/mm]
Bei deiner Formel ist also a=z und b=-i
>
> zu 3) Da hab ich das gleiche Problem wie bei Aufgabenteil
> 1, und ist es da egal welche Nullstelle ich von den beiden
> benutze für die Polynomdivision?
Wenn du schon zwein Nullstellen hast, kannst du die Polynomdivision auch mit beiden Nullstellen machen, die Reihenfolge ist in der Tat egal.
[mm] x^6-5x^5+16x^4-42x^3+53x^2+27x-90
[/mm]
hat übrigens die rellen Nullstellen [mm] x_{1}=-1, x_{2}=2 [/mm] und die komplexen Nullstellen [mm] x_{3}=3i, x_{4}=-3i, x_{5}=2-i [/mm] und [mm] x_{6}=2+i
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Sa 14.11.2015 | | Autor: | Anmahi |
Danke, ich hab aber noch eine Frage: Was mache ich denn mit dem i bei der Polynomdivision? ohne das bekomme ich die ganz leichthin.
LG Anmahi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 So 15.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke, ich hab aber noch eine Frage: Was mache ich denn mit
> dem i bei der Polynomdivision?
Was sollst Du mit i wohl machen ? Rechne damit unter Beachtung von [mm] i^2=-1
[/mm]
FRED
> ohne das bekomme ich die
> ganz leichthin.
> LG Anmahi
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