Nullteiler oder Einheit < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mi 19.11.2008 | | Autor: | niki |
| Aufgabe | Sei (R,+,⋅) ein Ring (kommutativ mit 1) mit endlich vielen Elementen. Zeigen Sie, dass jedes
Element x∈R entweder ein Nullteiler oder eine Einheit ist.
Hinweis: Betrachten Sie für festes a∈R die Abbildung f : R→ R mit x [mm] \mapsto [/mm] a ⋅ x . |
Ich habe folgendes überlegt.
Sei x [mm] \in [/mm] R ein Nullteiler [mm] \Rightarrow \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] R : xy=0 [mm] \Rightarrow y\not=0.
[/mm]
Sei a [mm] \in [/mm] R nicht Nullteiler, also [mm] \not\exists y\in [/mm] R: ay=0, y [mm] \not= [/mm] 0
betrachte die Abb. f: R->R mit x |-> ax.
Injektiv?
[mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] => [mm] ax_{1} [/mm] = [mm] ax_{2} [/mm] => [mm] a(x_{1}-x_{2})=0 [/mm] => [mm] x_{1}-x_{2}=0 [/mm] => [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] , weil a!=0 und kein Nullteiler ist.
somit ist f injektiv.
Ist das richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Ja, das ist soweit richtig, die Abbildung
$f: R [mm] \to [/mm] R$ mit $f(x) = ax$ ist für ein $a [mm] \in [/mm] R$, das kein Nullteiler ist, injektiv und den Beweis hast Du geliefert.
Jetzt sollst Du aber die Behauptung folgern, nämlich, dass für den Fall, dass R endlich ist, jedes Element ein Nullteiler oder eine Einheit ist. Dazu reicht es natürlich zu zeigen, dass jedes Element, das kein Nullteiler ist (so wie das obige a) eine Einheit ist.
Kannst du das folgern? Überlege Dir am besten, wie Du die Endlichkeit von R verwenden kannst... um zu zeigen, dass a eine Einheit ist, brauchst Du ja ein spezielles $x [mm] \in [/mm] R$ mit $ax = 1$.
Gruß,
Lars
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