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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Mo 27.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Hallo,
ich habe eine Aufgabe zur ONB gelöst, jedoch bin ich mir nicht sicher,ob ich auf dem richtigen Weg bin, weshalb ich eine Korrektur sehr wertschätzen würde.
Gegeben waren die Vektoren:
[mm] v_1= \vektor{1\\-2\\2} [/mm] , [mm] v_2= \vektor{-1\\-3\\2} [/mm] , [mm] v_3= \vektor{0\\1\\1} [/mm]
ausgehend von diesen Vektoren sollten wir eine Orthonormalbasis bestimmen [mm] w_1,w_2,w_3
[/mm]
Dafür bin ich wie folgt vorgegangen:
1. Normierung
[mm] w_1= v_1 [/mm] / [mm] |v_1| [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] * [mm] \vektor{1\\-2\\2}
[/mm]
danach habe ich um [mm] w_2 [/mm] zu berechnen folgendes gemacht:
[mm] w_2= v_2- w_1 [/mm] und komme auf
[mm] w_2= \vektor{-14/5\\ 3/5\\ -8/5}
[/mm]
ist das bis jetzt richtig?
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> Hallo,
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> ich habe eine Aufgabe zur ONB gelöst, jedoch bin ich mir
> nicht sicher,ob ich auf dem richtigen Weg bin, weshalb ich
> eine Korrektur sehr wertschätzen würde.
>
> Gegeben waren die Vektoren:
>
> [mm]v_1= \vektor{1\\
-2\\
2}[/mm] , [mm]v_2= \vektor{-1\\
-3\\
2}[/mm] , [mm]v_3= \vektor{0\\
1\\
1}[/mm]
>
>
> ausgehend von diesen Vektoren sollten wir eine
> Orthonormalbasis bestimmen [mm]w_1,w_2,w_3[/mm]
>
>
> Dafür bin ich wie folgt vorgegangen:
>
> 1. Normierung
>
> [mm]w_1= v_1[/mm] / [mm]|v_1|[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}[/mm] * [mm]\vektor{1\\
-2\\
2}[/mm]
Hallo,
diese [mm] \wurzel{5} [/mm] solltest Du nochmal überdenken - oder Du solltest uns, falls es nicht um das Standardskalarprodukt handelt, mitteilen, um welches Skalarprodukt es geht.
>
> danach habe ich um [mm]w_2[/mm] zu berechnen folgendes gemacht:
>
> [mm]w_2= v_2- w_1[/mm] und komme auf
>
> [mm]w_2= \vektor{-14/5\\
3/5\\
-8/5}[/mm]
>
> ist das bis jetzt richtig?
Ob [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] orthogonal sind, kannst Du selbst mit dem Skalarprodukt prüfen. Sind sie's?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mo 27.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Wir sollen das aber auf diese Art und weise machen:
Ich hab jetzt meine Aufzeichnungen verbessert:
für [mm] w_1= [/mm] 1/ [mm] \wurzel{9}* \vektor{1 \\-2\\2}= [/mm] 1/3 * [mm] \vektor{1 \\-2\\2}
[/mm]
und damit muss ich jetzt
[mm] w_2=v_2- w_1 [/mm] berechnen.
Da habe ich noch eine Frage zu : nachdem ich [mm] [/mm] berechnet habe, muss ich dann mit dem neuen entstandenen vektor [mm] w_1 [/mm] berechnen oder muss ich vorher die länge quasi berechnen und die dann mal [mm] w_1 [/mm] nehmen ?
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> Wir sollen das aber auf diese Art und weise machen:
>
> Ich hab jetzt meine Aufzeichnungen verbessert:
>
> für [mm]w_1=[/mm] 1/ [mm]\wurzel{9}* \vektor{1 \\
-2\\
2}=[/mm] 1/3 * [mm]\vektor{1 \\
-2\\
2}[/mm]
Hallo,
das paßt besser.
>
> und damit muss ich jetzt
>
> [mm]w_2=v_2- w_1[/mm] berechnen.
>
> Da habe ich noch eine Frage zu : nachdem ich [mm][/mm]
> berechnet habe, muss ich dann mit dem neuen entstandenen
> vektor [mm]w_1[/mm] berechnen oder muss ich vorher die länge quasi
> berechnen und die dann mal [mm]w_1[/mm] nehmen ?
Du nimmst genau so, wie es dasteht, Deinen neuen Vektor [mm] w_1:=1/3 [/mm] * [mm] $\vektor{1 \\-2\\2}$.
[/mm]
Allerdings: wenn Du noch irgendwie durch die Länge teilen willst oder so (ich ahne nur dunkel, was Dir vorschwebt), dann kannst Du das natürlich tun: Du hast doch Dein [mm] w_1 [/mm] extra so gebastelt, daß die Länge =1 ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mo 27.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Hmm also ich hab das jetzt noch einmal gerechnet:
und habe für [mm] w_2 [/mm] nun folgendes raus:
[mm] v_2-w_1 [/mm] = [mm] \vektor{-2\\-1\\0}
[/mm]
ist das jetzt richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Mo 27.06.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
1. du kannst doch selbst ausprobieren, ob [mm] w_2 [/mm] senkrecht [mm] w_1 [/mm] ist.(ist es) Wenn es ne Normalbasis sein soll musst du noch auf 1 normieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 27.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Okay die Probe quasi habe ich auch gemacht das kommt alles hin.
Wie berechne ich jedoch jetzt für [mm] x=(1,2,3)^T [/mm] die orthogonalen Projektionen auf [mm] V_j=span(w_j) [/mm] ?
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> Okay die Probe quasi habe ich auch gemacht das kommt alles
> hin.
Hallo,
Du hast jetzt eine ONB des [mm] \IR^3?
[/mm]
> Wie berechne ich jedoch jetzt für [mm]x=(1,2,3)^T[/mm] die
> orthogonalen Projektionen auf [mm]V_j=span(w_j)[/mm] ?
Es sei [mm] (w_1, w_2, w_3) [/mm] Deine ONB.
Schreiben den Vektor x als Linearkombination der [mm] w_i.
[/mm]
Die Projektion [mm] \pi_1 [/mm] auf [mm] w_j [/mm] bildet den Vektor [mm] a_1w_1+a_2w_2+a_3w_3 [/mm] auf den Vektor [mm] a_1w_1 [/mm] ab.
Die anderen projektionen entsprechend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mo 27.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ja, ich denke schon, dass ich eine ONB für [mm] \IR^3 [/mm] habe.
Ich habe noch [mm] w_3 [/mm] berechnet = [mm] \vektor{-2/5 \\ 4/5\\ 1}
[/mm]
Wenn ich diesen Vektor jedoch normiere habe ich da so einen unschönen bruch davor ( 1 / [mm] \wurzel{9/5} [/mm] )
Muss ich bei der Aufstellung der Linearkombination mit x , die normierten Vektoren nehmen? Ja, oder? sry für diese Frage -.-
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> Ja, ich denke schon, dass ich eine ONB für [mm]\IR^3[/mm] habe.
> Ich habe noch [mm]w_3[/mm] berechnet = [mm]\vektor{-2/5 \\
4/5\\
1}[/mm]
Hallo,
welches waren die anderen beiden von Dir berechneten Basisvektoren?
Prüfe selbst, ob [mm] w_3 [/mm] orthogonal ist zu den beiden anderen.
>
> Wenn ich diesen Vektor jedoch normiere habe ich da so einen
> unschönen bruch davor ( 1 / [mm]\wurzel{9/5}[/mm] )
[mm] =\bruch{\wurzel{5}}{3}.
[/mm]
>
> Muss ich bei der Aufstellung der Linearkombination mit x ,
> die normierten Vektoren nehmen?
Nein, nicht unbedingt.
Nur, wenn Du später das Ergebnis in Koordinaten bzgl Deiner ONB angeben sollst, wär's ganz sinnig.
Gruß v. Angela
>Ja, oder? sry für diese
> Frage -.-
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mo 27.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich habe das mal eben schnell überprüft, die Vektoren müssten soweit stimmen.
Jetzt habe ich die Linearkombinationen aufgeschrieben:
1. 1= 1/3a - 2b - 2/5c
2. 2=-2/3a- b+ 4/5c
3. 3= 2/3a + c
soll ich jetzt alle a,b,c bestimmen? :S
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> Jetzt habe ich die Linearkombinationen aufgeschrieben:
>
> 1. 1= 1/3a - 2b - 2/5c
> 2. 2=-2/3a- b+ 4/5c
> 3. 3= 2/3a + c
>
> soll ich jetzt alle a,b,c bestimmen? :S
Hallo,
messerscharf geschlossen!
(Was soll man auch sonst mit diesem GS tun?)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 27.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Hab das ganze jetzt mal gerechnet und bin auf folgendes gekommen:
a=1
b=2/5
c=1/3
ist das soweit richtig?
Was muss ich als nächstes tun ? Ich versteh noch nicht so ganz was das alles mit der Projektion zu tun haben soll...
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Hallo mml2011,
> Hab das ganze jetzt mal gerechnet und bin auf folgendes
> gekommen:
>
> a=1
> b=2/5
> c=1/3
>
> ist das soweit richtig?
Leider nicht.
Für b und c erhalte ich andere Werte.
> Was muss ich als nächstes tun ? Ich versteh noch nicht so
> ganz was das alles mit der Projektion zu tun haben soll...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mo 27.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Fehler gefunden:
b=-3/5
c=7/3
so aber richtig?
Und weiter?
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Hallo mml2011,
> Fehler gefunden:
>
> b=-3/5
b muss doch [mm]-\bruch{4}{5}[/mm] sein.
> c=7/3
>
> so aber richtig?
>
> Und weiter?
Nun hast Du die Gleichung
[mm]x=a*w_{1}+b*w_{2}+c*w_{3}[/mm]
Die orthogonale Projektion ist im Falle
der Projektion von x auf [mm]w_{1}[/mm]: [mm]a*w_{1}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mo 27.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Dass muss ich dann für alle [mm] w_i [/mm] quasi machen und bin dann mit der Aufgabe fertig????
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Hallo mml2011,
> Dass muss ich dann für alle [mm]w_i[/mm] quasi machen und bin dann
> mit der Aufgabe fertig????
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Mo 27.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Cool, danke !!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mo 27.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
sicher ist sicher.. ich frag trotzdem noch einmal nach:
die orthogonale projektion von x auf [mm] w_2 [/mm] wäre dann:
b [mm] *w_2
[/mm]
und die auf [mm] w_3 [/mm] :
[mm] c*w_3
[/mm]
richtig, oder? mehr nicht?
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Hallo mml2011,
> sicher ist sicher.. ich frag trotzdem noch einmal nach:
>
> die orthogonale projektion von x auf [mm]w_2[/mm] wäre dann:
>
> b [mm]*w_2[/mm]
>
> und die auf [mm]w_3[/mm] :
>
> [mm]c*w_3[/mm]
>
> richtig, oder? mehr nicht?
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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