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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Sei L [mm] \in SO(\IR^{3}) [/mm] bezüglich der Standardbasis gegeben durch die Matrix
Mat (L) = (1/3) [mm] \pmat{ -2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & -2 }
[/mm]
Bestimmen Sie die Drehachse von L (indem Sie den Eigenvektor zum Eigenwert 1 finden) und den Drehwinkel [mm] \gamma \in (0,\pi). [/mm] |
Hallo!
Ich habe Probleme mit der Aufgabe, da ich nicht genau weiß, wie man den Drehwinkel bestimmt. Die Drehachse bestimmen kann ich noch. Allerdings hatten wir in der Vorlesung irgendwie kein explizites Verfahren wie man den Drehwinkel bestimmt. Im Internet hab ich auch noch nichts Richtiges gefunden. Vielleicht könnt ihr mir ja evtl. sagen, wie das Verfahren zur Bestimmung des Drehwinkels geht.
Das wäre echt super!
Viele liebe Grüße,
Leni
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Nimm einen Vektor der senkrecht auf der Drehachse steht, wende die Abbildung darauf an und bestimme den Winkel zwischen dem Ergebnis und dem ursprünglichen Vektor.
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am besten du nimmst einen normierten Vektor $v$ senkrecht zur Drehachse, dann ist [mm] $\langle [/mm] v, L(v) [mm] \rangle=\cos(\theta)$ [/mm] und [mm] $\vert v\times L(v)\vert= \sin(\theta)$. $\arctan$ [/mm] von dem Quotienten [mm] $\sin/\cos$ [/mm] gibt dir den Winkel
Kornfeld
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:52 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hi!
Vielen Dank für eure Antworten. Ich habs jetzt mal versucht, bekomm aber irgendwie was komisches raus.
Also die Drehachse ist nach meiner Rechnung = t *(1,3,1), da v=(1,3,1) Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist.
Als nächstes hab ich einen Vektor w gesucht, der orthogonal auf v steht. Da bin ich zu dem Schluss gekommen, dass w=(-3,1,0) ein solcher ist, da das Skalarprodukt von v und w 0 ist.
Im nächsten Schritt hab ich w normiert und bekomm als normierten Wektor [mm] z=(\bruch{-3}{\wurzel{10}}, \bruch{1}{\wurzel{10}},0)
[/mm]
Dann hab ich L(z) bestimmt und bekomme hierfür:
[mm] L(z)=((\bruch{7}{3*\wurzel{10}}, \bruch{-4}{3*\wurzel{10}},\bruch{5}{3*\wurzel{10}})
[/mm]
Somit ist <z, L(z)> = [mm] \bruch{-25}{3} [/mm] = cos [mm] \gamma
[/mm]
Für das Kreuzprodukt z [mm] \times [/mm] L(z) erhalte ich [mm] (\bruch{5}{3},-5,\bruch{5}{3})
[/mm]
und somit
[mm] \parallel [/mm] z [mm] \times [/mm] L(z) [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{275}{9}} [/mm] = sin [mm] \gamma
[/mm]
Also bekomm ich insgesamt mit arctan raus, dass [mm] \gamma [/mm] = -0,59... ist.
Nun versteh ich aber nicht, warum ich was negatives rausbekomme? Und ich weiß nicht, wie ich die Zahl als Bogenlänge angeben kann...
Wär cool, wenn ihr mir nochmal helfen könntet.
LG Leni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 30.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Mo 28.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Es gibt noch eine ganz andere, viel einfachere Moeglichkeit, den Drehwinkel zu bestimmen.
Wenn $L [mm] \in SO(\IR^3)$ [/mm] ist, dann gibt es ja eine Matrix $S [mm] \in SO(\IR^3)$ [/mm] mit [mm] $S^{-1} [/mm] L S = [mm] \pmat{ \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$. [/mm] Insbesondere ist die Spur von [mm] $S^{-1} [/mm] L S$ gerade $2 [mm] \cos \alpha [/mm] + 1$. Da die Spur invariant unter Basiswechseln ist, ist die Spur von $L$ also ebenfalls gleich $2 [mm] \cos \alpha [/mm] + 1$. Damit ist der Drehwinkel gegeben durch [mm] $\arccos \left( \frac{1}{2} (\mathop{\mathrm{Spur}} L - 1) \right)$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hi Felix!
Vielen Dank... die Methode ist ja echt voll geschickt...
LG Leni
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