Orthogonalität < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Sei [mm] v_{1},v_{2} [/mm] eine orthonormierte Basis des [mm] V^2_{O}. [/mm] Bestimmen Sie mittels des Skalarprodukts, in welchen der folgenden Fälle die beiden Vektoren $u$ und $v$ orthogonal sind.
1) [mm] $u=-v_{2}, v=7v_{1}$
[/mm]
2) [mm] $u=v_{1}+v_{2}, v=v_{1}-v_{2}$
[/mm]
3) [mm] $u=v_{2}-\bruch{1}{2}v_{1}, v=\bruch{1}{2}v_{1}+2v_{2}$
[/mm]
4) [mm] $u=3v_{1}+2v_{2}, v=3v_{2}-2v_{1}$ [/mm] |
Hallo,
bin hier hoffentlich im richtigen Unterforum gelandet.
Man muss ja zeigen, dass das innere Produkt bzw. das Skalarprodukt gleich 0 wird. [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] sind als orthonormierte Basen vorgebeben.
Nehme ich nun für [mm] v_{1}=\vektor{1\\0} [/mm] und für [mm] v_{2}=\vektor{0\\1} [/mm] oder zeigt man es mit symbolischen Variablen z.b. [mm] \vektor{a\\0}?
[/mm]
Danke für Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Du kannst ohne Weiteres die Vektoren der Orthonormalbasis so allgemein wie in der Angabe vorgegeben annehmen, also als [mm] \vec{v_{1}}= \{v_{11},v_{12} \}, \vec{v_{2}}= \{v_{21},v_{22} \}.
[/mm]
Dein Ansatz mit der Argumentation über Skalarprodukt = 0 ist richtig. Bilde jeweils das Skalarprodukt von [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] und verwende dabei die Rechenregeln für Skalarprodukte und die Orthogonalität von [mm] \vec{v_{1}} [/mm] und [mm] \vec{v_{2}}.
[/mm]
Nur zur Klärung: Was meinst Du mit der Bezeichnung [mm] V_{O}? [/mm]
liebe Grüße,
Georg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 So 29.05.2011 | | Autor: | Trolli |
Ok, danke erstmal. Bin mir nur noch ganz sicher wie ich es korrekt aufschreibe. Ist dieser Ansatz korrekt?
Sei [mm] $\vec{v_{1}}=\{v_{11},v_{12}\}$ [/mm] und [mm] $\vec{v_{2}}=\{v_{21},v_{22}\}$. [/mm] Da es orthonormierte Basen sind, haben sie eine Länge von 1.
Kann ich nun sagen, dass [mm] $\vec{v_{1}}=\vektor{1v_{11} \\ 0v_{12}}$ [/mm] und [mm] $\vec{v_{2}}=\vektor{0v_{21} \\ 1v_{22}}$ [/mm] seien?
Dann würde ich u und v bilden um danach das Skalarprodukt zu berrechnen.
z.B. für die 1. Aufgabe: [mm] $u=-\vec{v_{2}}=\vektor{0v_{21} \\ -1v_{22}}, v=7\vec{v_{1}}=\vektor{7v_{11} \\ 0v_{12}}\Rightarrow [/mm] <u,v>=0$
>
> Nur zur Klärung: Was meinst Du mit der Bezeichnung [mm]V_{O}?[/mm]
>
Ich war leider einige Zeit krank und konnte noch nicht nachfragen. In meinem Skript ist es nicht genau defniert. Hab mich bei dem Aufgabenblatt auch erstmal gewundert was es bedeuten soll. Ich glaube, dass O nur einen festen Punkt definieren soll von dem alles anfängt, also einen Anfangspunkt/Urprung.
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Hallo,
daß wir nicht wissen, was mit [mm] V^2_{O} [/mm] gemeint sein soll, ist nicht so ganz ideal...
Aber eigentlich müssen wir's gar nicht so genau wissen:
wir haben einen Vektorraum, für den [mm] B:=(v_1, v_2) [/mm] eine ONB ist.
Wir entnehmen dem nebenbei, daß der fragliche VR die Dimension 2 hat.
Vor allem aber wissen wir, daß, wenn wir mit spitzen Klammern das Skalarprodukt bezeichnen, gilt
[mm] \wurzel{}=1
[/mm]
und [mm] =0 [/mm] für [mm] i\not=j.
[/mm]
> Ok, danke erstmal. Bin mir nur noch ganz sicher wie ich es
> korrekt aufschreibe. Ist dieser Ansatz korrekt?
>
> Sei [mm]\vec{v_{1}}=\{v_{11},v_{12}\}[/mm] und
> [mm]\vec{v_{2}}=\{v_{21},v_{22}\}[/mm]. Da es orthonormierte Basen
> sind, haben sie eine Länge von 1.
Es sind keine orthonormierte Basen, sondern es sind orthonormierte Basisvektoren.
> Kann ich nun sagen, dass [mm]\vec{v_{1}}=\vektor{\red{1}v_{11} \\
\red{0}v_{12}}[/mm]
> und [mm]\vec{v_{2}}=\vektor{0v_{21} \\
1v_{22}}[/mm] seien?
Nein.
Das Problem ist, daß wir nicht wissen, um welchen VR es geht.
Wer sagt denn, daß der Raum aus Zweitupeln besteht?
Nun gut. Wir wissen, daß der Raum zweidimensional ist.
Wenn wir eine Basis [mm] E:=(e_1, e_2) [/mm] haben, können wir jeden Vektor als Koordinatatenvektor bzgl dieser Basis schreiben, also auch [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2.
[/mm]
So könnte man dann sagen: [mm] $\vec{v_{1}}:=\vektor{v_{11} \\ v_{12}}_{(E)}$und $\vec{v_{2}}:=\vektor{v_{21} \\ v_{22}}_{(E)}$ [/mm]
Oder: [mm] v_1:=\vektor{1\\0}_{(B)} [/mm] und [mm] v_2:=\vektor{0\\1}_{(B)}.
[/mm]
Hier arbeitet man eben mit Koordinatenvektoren bzgl B.
Du gibst da oben ein Mischding zwischen beiden Varianten an, dessen Sinn mir nicht ganz klar ist.
Nun nähern wir uns dem Kern dessen, was ist Dir sagen möchte.
Laß das ganze Tamtam mit den Koordinatenvektoren! Es ist viel zu umständlich und mühsam, und bzgl des verwendeten Skalarproduktes müßte man sich möglicherweise auch noch Gedanken machen.
Du sollst sagen, ob $ [mm] u:=-v_{2}, v:=7v_{1} [/mm] $ orthogonal sind.
Dazu rechnet man das Skalarprodukt aus und schaut, ob es =0 ist.
Es ist
[mm] =<-v_2,7v_1>=... =...*=0.
[/mm]
In diesem Stile kannst Du die anderen Teilaufgaben auch bearbeiten, immer unter Ausnutzung der Regeln, die bei Skalarprodukten gelten, und der Voraussetzung, daß B eine ONB ist.
Gruß v. Angela
> Dann würde ich u und v bilden um danach das Skalarprodukt
> zu berrechnen.
>
> z.B. für die 1. Aufgabe: [mm]u=-\vec{v_{2}}=\vektor{0v_{21} \\
-1v_{22}}, v=7\vec{v_{1}}=\vektor{7v_{11} \\
0v_{12}}\Rightarrow =0[/mm]
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> >
> > Nur zur Klärung: Was meinst Du mit der Bezeichnung [mm]V_{O}?[/mm]
> >
> Ich war leider einige Zeit krank und konnte noch nicht
> nachfragen. In meinem Skript ist es nicht genau defniert.
> Hab mich bei dem Aufgabenblatt auch erstmal gewundert was
> es bedeuten soll. Ich glaube, dass O nur einen festen Punkt
> definieren soll von dem alles anfängt, also einen
> Anfangspunkt/Urprung.
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