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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Sa 04.02.2006 | | Autor: | Molch |
| Aufgabe | Man ermittle die Eigenwerte und ein maximales System linear unabhängiger normierter Eigenvektoren von folgender symmetrischer Matrix:
[mm] A:=\vmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & 5 } [/mm] |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit der Ermittlung der Eigenvektoren für einen der beiden Eigenwerte.
Meine Rechnung ergab folgende Eigenwerte:
[mm] \lambda_{1}=7
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=1, m(\lambda_{2})=2
[/mm]
Nun gilt ja für die Eigenvektoren
(A- [mm] \lambda_{i}*E)*x=\vec{0}.
[/mm]
Wenn ich den Eigenvektor für [mm] \lambda_{2}=1 [/mm] ermitteln will ergibt sich nach einem Eliminationsschritt folgendes Gleichungssystem (da alle Zeilenvektoren linear abhängig sind):
[mm] A:=\vmat{ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Dies bedeutet ja, dass der Vektor von 2 Parametern abhängig ist. Wählt man [mm] x_{2}, x_{3} [/mm] als Parameter t, s so ergibt sich:
[mm] v_{2}:=t \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Der entstehende normierte Vektor muss jedoch parameterfrei sein. Deshalb meine Frage, wie bekomme ich aus diesem Vektor zwei parameterfreie, linear unabhängige Vektoren (schließlich besitzt [mm] \lambda_{2} [/mm] die algebraische Vielfachheit 2). Kann man dafür einfach jeweils einen Parameter gleich Null setzen? Das wären ja dann die einzigen Vektoren, die lin. unabhängig wären.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß, Molch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Sa 04.02.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Molch
Etwas kann an deiner Rechnung nicht stimmen. Denn wenn du 3 verschiedene Eigenwerte einer 3x3-Matrix hast, kann jeder Eigenraum nur 1-dimensional sein. Dann kann sich aber dein Gleichungssysten nicht auf eine einzige Gleichung reduzieren.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Sa 04.02.2006 | | Autor: | Molch |
Hallo und danke für die Antwort.
Die Eigenwerte sind jedoch nicht verschieden. Der zweite Eigenwert liegt ja zweifach vor.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Sa 04.02.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Molch
Ich habe zu flüchtig gelesen, und nicht gemerkt, dass du die Vielfachheit meinst, sondern einen dritten Eigenwert gesehen.
Du kannst schon einen der Parameterwerte 0 setzen. Das Problem ist dann, dass du nicht orthogonale Vektoren bekommst. Entweder du orthogonalisierst deine beiden Vektoren mit dem Gram-Schmidt-Verfahren oder du suchst dir von Anfang an orthogonale Eigenvektoren.
z.B. [mm] $\vektor{1 \\ 1\\ 0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{1 \\ -1 \\ -1}$.
[/mm]
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 So 05.02.2006 | | Autor: | Molch |
Okay, vielen Dank!
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