Partialbr.-Zer. (dopp. Nullst) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 So 31.01.2010 | | Autor: | mathey |
| Aufgabe | | Bilden Sie eine Stammfunktion der Funktion [mm] f(x)=\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe extreme Verständnisprobleme bei der Partial-Bruch-Zerlegung, wenn eine doppelte Nullstelle der Fall ist. Bei einfachen Nullstellen komme ich zurecht.
Mein Ansatz zur Stammfunktion von [mm] f(x)=\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2}
[/mm]
ist wie folgt:
1.) Durch Polynomdivision umgeformt:
[mm] f(x)=\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2}=(x^3+2x^2-7x):(x^2-2x+1)=x+4+\bruch{-4}{(x-1)^2}
[/mm]
daraus folgt für die Stammfunktion:
[mm] \integral_{}^{}{f(x) dx}=\integral_{}^{}{\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2} dx}=\integral_{}^{}{(x+4+\bruch{-4}{(x-1)^2}) dx}=\integral_{}^{}{x dx}+\integral_{}^{}{4 dx}-\integral_{}^{}{\bruch{4}{(x-1)^2} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}x^2+4x-\integral_{}^{}{\bruch{4}{(x-1)^2} dx}
[/mm]
Nun komme ich mit dem letzten Teil, dem [mm] \integral_{}^{}{\bruch{4}{(x-1)^2} dx} [/mm] nicht zurecht, da dies eine doppelte Nullstelle [mm] (x_{1,2}=1) [/mm] besitzt und ich nicht weiß, wie man dann die Partial-Bruch-Zerlegung anwendet.
Könnte mir jemand hierbei weiterhelfen ?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo mathey und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bilden Sie eine Stammfunktion der Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe extreme Verständnisprobleme bei der
> Partial-Bruch-Zerlegung, wenn eine doppelte Nullstelle der
> Fall ist. Bei einfachen Nullstellen komme ich zurecht.
>
> Mein Ansatz zur Stammfunktion von
> [mm]f(x)=\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2}[/mm]
> ist wie folgt:
>
> 1.) Durch Polynomdivision umgeformt:
>
> [mm]f(x)=\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2}=(x^3+2x^2-7x):(x^2-2x+1)=x+4+\bruch{-4}{(x-1)^2}[/mm]
>
> daraus folgt für die Stammfunktion:
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(x) dx}=\integral_{}^{}{\bruch{x^3+2x^2-7x}{(x-1)^2} dx}=\integral_{}^{}{(x+4+\bruch{-4}{(x-1)^2}) dx}=\integral_{}^{}{x dx}+\integral_{}^{}{4 dx}-\integral_{}^{}{\bruch{4}{(x-1)^2} dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}x^2+4x-\integral_{}^{}{\bruch{4}{(x-1)^2} dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Nun komme ich mit dem letzten Teil, dem
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{4}{(x-1)^2} dx}[/mm] nicht zurecht, da
> dies eine doppelte Nullstelle [mm](x_{1,2}=1)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
besitzt und ich
> nicht weiß, wie man dann die Partial-Bruch-Zerlegung
> anwendet.
PBZ bringt hier nix, das ist schon die PBZ 
Der Ansatz bei einer doppelten reellen NST wäre: $\frac{x_0}{(x-x_N)^2}=\frac{A}{x-x_N}+\frac{B}{(x-x_N)^2}$
Hier kannst du es durch Hinsehen integrieren oder durch ne einfache lineare Substitution $z=z(x):=x-1$
Das führt dich auf ein Integral $\int{\frac{4}{z^2} \ dz}=4\cdot{}\int{z^{-2}} \ dz}$
Und das kannst du seit den Kindergartentagen integrieren
Denke an die Potenzregel $\int{u^{n} \ du}=\frac{1}{n+1}\cdot{}u^{n+1} \ (+C)$ für alle $n\in\IR, n\neq -1$
>
> Könnte mir jemand hierbei weiterhelfen ?
>
> Vielen Dank im Voraus.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 So 31.01.2010 | | Autor: | mathey |
Vielen Dank. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen wirklich nicht :)
Kam selbst gar nicht mehr auf die Idee, da eine Substitution anzuwenden.
Habe eben probehalber mal statt 4 im Zähler, 4x im Zähler genutzt, dann hilft mir dein Ansatz mit [mm] \bruch{A}{x-x_{0}}+\bruch{B}{(x-x_{0})^2} [/mm] ... denn dann komme ich auch wieder auf eine reelle Zahl im Zähler, wobei die Substitution wieder weiterhilft.
Danke nochmal.
Gruß mathey
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