Partielle Ableitung / Existenz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 So 20.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Hallo,
wie überprüfe ich, ob die partiellen Ableitungen in f (0,0) existieren ?
Benutze ich dafür dieses ?
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} [/mm] $
wenn jetzt meine Funktion, die ich nach x abgeleitet habe, so aussieht:
[mm] \bruch{2xy^{2}}{(x²+y²)²}
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 So 20.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie du leicht siehst ist deine allgemeine Abl für (0,0) nicht definiert, du musst also schon die GW Betrachtung machen. ist die fkt denn stetig (0,9)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 20.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Mache ich die Gw-Betrachtung mit l´Hospital oder mit f(1/n,1/n) ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Mache ich die Gw-Betrachtung
welche?
Die für Stetigkeit oder die für Diffbarkeit?
> mit l´Hospital
Nein
> oder mit
> f(1/n,1/n) ?
Das wäre eine Testfolge, um Stetigkeit in [mm](0,0)[/mm] zu widerlegen ...
Irgendwie ist gar nicht klar, was du eigentl. vorhast.
Poste mal die Ausgangsfunktion.
Die Ableitungsfunktion(?), die du oben gepostet hast, ist ja allenfalls eine für [mm](x,y)\neq (0,0)[/mm]
Diffbarkeit der (uns unbekannten) Ausgangsfunktion in [mm](0,0)[/mm] müsstest du über die Definition prüfen.
Prüfe zunächst auf Stetigkeit, denn: wenn nicht stetig, dann nicht diffbar.
Aber poste mal die Ausgansfkt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 So 20.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Okay also meine Ausgangsfunktion ist diese
$ [mm] \frac{x^2}{x^2+y^2},(x,y) \not= [/mm] $ (0,0)
[mm] f_{x}(x,y)= [/mm] $ [mm] \bruch{2xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] $
[mm] f_{y}(x,y)= [/mm] $ [mm] \bruch{-2xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] $
Und die Aufgabe lautet:
Untersuche, ob die ersten part. Ableitungen [mm] f_{x}(0,0) [/mm] und [mm] f_{y}(0,0) [/mm] existieren.
Also müsste ich doch den linksseitigen Gw und den rechtsseitigen Gw überprüfen
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Okay also meine Ausgangsfunktion ist diese
>
> [mm]\frac{x^2}{x^2+y^2},(x,y) \not=[/mm] (0,0)
Und [mm]f(0,0)=0[/mm] nehme ich an?
>
> [mm]f_{x}(x,y)=[/mm] [mm]\bruch{2xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
>
> [mm]f_{y}(x,y)=[/mm] [mm]\bruch{-2xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Für [mm](x,y)\neq (0,0)[/mm] stimmt das
>
> Und die Aufgabe lautet:
> Untersuche, ob die ersten part. Ableitungen [mm]f_{x}(0,0)[/mm] und
> [mm]f_{y}(0,0)[/mm] existieren.
>
> Also müsste ich doch den linksseitigen Gw und den
> rechtsseitigen Gw überprüfen
Naja, was heißt im mehrdimensionalen linksseitig oder rechtsseitig?
Die Formel aus deinem ersten post ist doch gut.
Damit bestimmst du (falls ex.) [mm]f_x(0,0)[/mm] - rechne das aus.
Analog für [mm]f_y(0,0)[/mm]
Berechne dort [mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 So 20.02.2011 | | Autor: | Balsam |
$ [mm] \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} [/mm] $
mach ich das so ?
f(0)= 0 und f(h)= [mm] \bruch{2hy^{2}}{(h^{2}+y^{2})^{2}}
[/mm]
an der Umsetzung hakt es noch bei mir...
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> [mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}[/mm]
>
> mach ich das so ?
> f(0)= 0 und f(h)= [mm]\bruch{2hy^{2}}{(h^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
f hat als Argumente Vektoren [mm](x,y)[/mm] !
Es ist [mm]\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{\frac{h^2}{h^2+0^2}-0}{h}=\frac{1}{h}[/mm]
Und das strebt für [mm]h\to 0[/mm] gegen [mm]\infty[/mm], also ex. [mm]f_x(0,0)[/mm] nicht
Für [mm]f_y(0,0)[/mm] berechne [mm]\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}=\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\frac{\frac{0^2}{0^2+h^2}-0}{h}=\frac{0}{h}=0[/mm]
Und das strebt für [mm]h\to 0[/mm] gegen 0 (es ist ja schon 0) 
Also [mm]f_y(0,0)[/mm] existiert und [mm]f_y(0,0)=0[/mm]
>
> an der Umsetzung hakt es noch bei mir...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 20.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Vielen Dank,
habe aber noch ne Frage
für x
$ [mm] \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{\frac{h^2}{h^2+0^2}-0}{h}=\frac{1}{h} [/mm] $
bei der 2.Gleichung müsste es wahrscheinlich f(h,0) heißen oder?
Und kannst du mir erklären, wie du auf $ [mm] {\frac{h^2}{h^2+0^2}-0} [/mm] $ gekommen bist.
Danke:)
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Vielen Dank,
> habe aber noch ne Frage
> für x
>
> [mm]\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{\frac{h^2}{h^2+0^2}-0}{h}=\frac{1}{h}[/mm]
>
> bei der 2.Gleichung müsste es wahrscheinlich f(h,0)
> heißen oder?
Ja, stimmt, ich wollte verdeutlichen, wieso da im Zähler [mm]f(h,0)-f(0,0)[/mm] steht und dass es sich aus $f(0+h,0)-f(0,0)$ ergibt
>
> Und kannst du mir erklären, wie du auf
> [mm]{\frac{h^2}{h^2+0^2}-0}[/mm] gekommen bist.
Nun, es ist [mm]f(x,y)=\frac{x^2}{x^2+y^2}[/mm] für [mm](x,y)\neq (0,0)[/mm] und [mm]f(0,0)=0[/mm] (letzteres habe ich angenommen - du hast nix dazu gesagt)
Damit setze für [mm]f(h,0)[/mm] für [mm]x=h[/mm] und für [mm]y=0[/mm] ein in die Funktionsvorschrift.
Falls [mm]f(0,0)\neq 0[/mm], musst du die Rechnung ([mm]...-0[/mm]) entsprechend anpassen
>
> Danke:)
Bitte!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
