Patialbruch berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x-1}{x^{2}-6x+9} dx} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich bin bei der Berechnung eines Integrals und schaffe es eigentlich auch recht weit, habe aber das Gefühl, dass ich kurz vor dem Ziel nicht weiterkomme. Ich schreib einfach mal die ganze Rechnung auf, vielleicht hab ich mich ja verrechnet...
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x-1}{x^{2}-6x+9} dx} [/mm]
=
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x-1+5-5}{x^{2}-6x+9} dx}
[/mm]
Erweitert...
=
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x-6}{x^{2}-6x+9} dx} [/mm] + 5 * [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{2}-6x+9} dx}
[/mm]
So, zunächst das erste Integral:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x-6}{x^{2}-6x+9} dx}
[/mm]
=
ln [mm] |x^{2}-6x+9|
[/mm]
Das zweite Integral:
Ich berechne die Stammfunktion von dem, was "hinter" dem Integralzeichen steht:
[mm] \bruch{1}{(x-3)^{2}}
[/mm]
=
[mm] \bruch{A}{(x-3)} +\bruch{B}{(x-3)}
[/mm]
Das bringe ich wieder auf den vorherigen Nenner
und erhalte
1 = A (x-3) + B (x-3)
= A*x - 3*A + B*x - 3*B
= (A+B) * x - 3 (A+B)
Der Teil mit x müsste Null werden, dies erreicht man allerdings nur dadurch, dass A+B=0 und damit wäre 0=1
Frage:
Wie komme ich auf die Nenner von [mm] \bruch{A}{(...)} +\bruch{B}{(...)}
[/mm]
Schonmal Danke im Vorraus für eure Wertvolle Zeit.
|
|
| |
|
> ...
> Das zweite Integral:
> Ich berechne die Stammfunktion von dem, was "hinter" dem
> Integralzeichen steht:
>
> [mm]\bruch{1}{(x-3)^{2}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{A}{(x-3)} +\bruch{B}{(x-3)}[/mm]
Hi,
das Ganze ist bei mir schon ne Weile her, aber ich meine mich zu errinern, dass bei mehrfachen Nullstellen der Exponent erhöht werden muss. Also:
[mm] \bruch{A}{(x-3)} +\bruch{B}{(x-3)^2}
[/mm]
mfg,
progmaker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Sa 26.08.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo JustinSane,
Du könntest auch das zweite Integral durch Substitution integrieren mit $z=(x-3)$
Schöne Grüße,
ardik
|
|
|
|
