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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mi 22.12.2021 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Wahr oder falsch?
Wenn für das Nennerpolynom q(x) einer gebroch-rationalen Funktion mit vollständig gekürztem Funktionsterm gilt: [mm] q(x_0 [/mm] )=0, dann hat der Graph von f bei [mm] x_0 [/mm] eine senkrechte Asymptote. |
Hallo,
ich würde meinen die Aussage wäre richtig, oder? Normal bräuchte man ja noch, dass das Zählerpolynom an der Stelle [mm] x_o [/mm] nicht Null ist. Aber aufgrund des Zusatzes, dass der Funktionsterm vollständig gekürzt ist, fällt mir kein Gegenbeispiel ein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Mi 22.12.2021 | | Autor: | fred97 |
> Wahr oder falsch?
> Wenn für das Nennerpolynom q(x) einer gebroch-rationalen
> Funktion mit vollständig gekürztem Funktionsterm gilt:
> [mm]q(x_0[/mm] )=0, dann hat der Graph von f bei [mm]x_0[/mm] eine senkrechte
> Asymptote.
> Hallo,
> ich würde meinen die Aussage wäre richtig, oder? Normal
> bräuchte man ja noch, dass das Zählerpolynom an der
> Stelle [mm]x_o[/mm] nicht Null ist. Aber aufgrund des Zusatzes, dass
> der Funktionsterm vollständig gekürzt ist, fällt mir
> kein Gegenbeispiel ein.
Sei $f(x)= [mm] \frac{p(x)}{q(x)}$, [/mm] wobei $q$ ein Polynom vom Grade m sei und $p$ ein Polynom.
Ist [mm] $q(x_0)=0,$ [/mm] so gibt es ein $n [mm] \le [/mm] m$ mit [mm] $q(x)=(x-x_0)^n q_1(x),$ [/mm] wobei [mm] q_1 [/mm] ein Polynom vom Grade $m-n$ ist und [mm] $q_1(x_0) \ne [/mm] 0$ ist
Dann haben wir $f(x)= [mm] \frac{p(x)}{(x-x_0)^nq_1(x)}$.
[/mm]
Dies sei der vollständig gekürzte Funktionsterm. Nun nehmen wir an, $p$ hätte in [mm] x_0 [/mm] eine Nullstelle. Dann hätten wir:
[mm] $p(x)=(x-x_0)p_1(x) [/mm] $ mit einem Polynom [mm] p_1. [/mm] Es ergibt sich:
$f(x)= [mm] \frac{(x-x_0)p_1(x)}{(x-x_0)^nq_1(x)}$.
[/mm]
Damit wäre der Funktionsterm nicht vollständig gekürzt, Widerspruch !
Somit ist [mm] $p(x_0) \ne [/mm] 0$ und damit
$ [mm] \lim_{x \to x_0}|f(x)| [/mm] = [mm] \infty.$
[/mm]
Dann hat der Graph von f bei $ [mm] x_0 [/mm] $ eine senkrechte Asymptote.
Die Aussage ist also richrig.
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