Polygonzug abrunden < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Fr 21.03.2014 | | Autor: | MrMuffin |
Hallo Leute!
Ich habe das folgende Problem:
Ich möchte in [mm] \IR^3 [/mm] beliebige benachbarte Punkte [mm] $x_i \in \IR^3$ [/mm] miteinander verbinden. Das könnte ich am einfachsten über einen Polygonzug bewerkstelligen. Allerdings wäre dann die zusammengesetzte Funktion an den Polygonpunkten nicht stetig. Daher möchte ich keinen Polygonzug betrachten, sondern die Komposition aus Kreissegmenten mit konstantem Radius $R$ und dazu tangierende Geraden.
Jetzt fällt mir das Beschreiben der zusammengesetzten Funktion schwer. Die Geradenstücke sollten nicht das Problem sein, doch wie sieht es mit den Kreissegmenten in [mm] $\IR^3$ [/mm] aus? Ich denke da an ein Kurvenintegral von [mm] $x_i$ [/mm] nach [mm] $x_{i+1}$ [/mm] einer Funktion, die mir ein Kreissegment in [mm] $\IR^3$ [/mm] beschreibt. Allerdings weiß ich nicht wie ich eine derartige Funktion formuliere.
Für jede Hilfe bin ich dankbar!
Viele Grüße
MrMuffin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Leute!
> Ich habe das folgende Problem:
> Ich möchte in [mm]\IR^3[/mm] beliebige benachbarte Punkte [mm]x_i \in \IR^3[/mm]
> miteinander verbinden. Das könnte ich am einfachsten über
> einen Polygonzug bewerkstelligen. Allerdings wäre dann die
> zusammengesetzte Funktion an den Polygonpunkten nicht
> stetig.
was verstehst Du unter "Polygonpunkten"? Meinst Du hier sowas wie die
"Ecken"?
Und natürlich sind Polygonzüge stetige Funktionen. Geht's Dir vielleicht
eher um den Begriff "Differenzierbarkeit"?
(Wenn ich's mit den Worten, wie ich die Begriffe: *Weg*, *Kurve* kennengelernt
habe, präziese formuliere, müßte ich oben sagen:
Polygonzüge sind Kurven, d.h. das Bild eines Weges (der nach ![[]](/images/popup.gif) Definition
26.8 stetig ist). Beide Begriffe werden in Def. 26.8 definiert!)
Nebenbei: Was sind "beliebig benachbarte Punkte" im [mm] $\IR^3$? [/mm] Meinst Du damit:
Wenn Du einen (endlichen) Satz von Punkten
[mm] $x_k$
[/mm]
des [mm] $\IR^3$ [/mm] vorliegen hast, so sollen, wenn [mm] $x_{k_0}$ [/mm] der aktuelle Punkt
ist und wir *verbrauchte Punkte markieren*, dann dessen nächster Nachbar
einer der noch nicht markierten Punkte werden, dessen Abstand zum aktuellen
Punkt *minimal* ist. Allerdings kann es (betrachte Kugelrand) dabei dann
ja durchaus sehr viele mögliche nächste Nachbarn geben.
Vielleicht meinst Du damit aber etwas ganz anderes, also: Kannst Du das
bitte etwas genauer formulieren oder eine Definition nachliefern?
(Ich nehme an, wir bleiben auch eh immer im *Anschauungsraum [mm] $\IR^3$*?) [/mm]
Oder willst Du einfach nur Punkte des [mm] $\IR^3$ [/mm] *irgendwie* verbinden, so dass
ich vielleicht in das Wort "benachbart" zu viel reininterpretiert habe?
> Daher möchte ich keinen Polygonzug betrachten,
> sondern die Komposition aus Kreissegmenten mit konstantem
> Radius [mm]R[/mm] und dazu tangierende Geraden.
>
> Jetzt fällt mir das Beschreiben der zusammengesetzten
> Funktion schwer. Die Geradenstücke sollten nicht das
> Problem sein, doch wie sieht es mit den Kreissegmenten in
> [mm]\IR^3[/mm] aus? Ich denke da an ein Kurvenintegral von [mm]x_i[/mm] nach
> [mm]x_{i+1}[/mm] einer Funktion, die mir ein Kreissegment in [mm]\IR^3[/mm]
> beschreibt. Allerdings weiß ich nicht wie ich eine
> derartige Funktion formuliere.
>
> Für jede Hilfe bin ich dankbar!
Da ist mir Deine Beschreibung zu unklar - kannst Du das etwas skizzieren?
Vielleicht kann man die Idee ja auch erstmal im [mm] $\IR^2$ [/mm] skizzieren?
P.S. Ergänzend zu oben: Wenn ich einen Polygonzug durch drei Punkte
[mm] $x_1,\;x_2,\;x_3 \in \IR^3$
[/mm]
als Kurve definieren will [mm] ($x_3$ [/mm] soll nicht auf der Strecke von [mm] $x_1$ [/mm] nach [mm] $x_2$ [/mm] liegen):
Definiere
[mm] $\gamma \colon [/mm] [0,2] [mm] \to \IR^3$
[/mm]
durch
[mm] $\gamma(r):=\left\{(1-r)*x_1+r*x_2\right\}*\mathds{1}_{[0,1]}(r)+\left\{(1-(r-1))*x_2+(r-1)*x_3\right\}*\mathds{1}_{(1,2]}(r)$ [/mm]
[mm] $=\left\{(1-r)*x_1+r*x_2\right\}*\mathds{1}_{[0,1]}(r)+\left\{(2-r)*x_2+(r-1)*x_3\right\}*\mathds{1}_{(1,2]}(r)$
[/mm]
[mm] $=\left\{x_1+r*(x_2-x_1))\right\}*\mathds{1}_{[0,1]}(r)+\left\{x_2+(r-1)*(x_3-x_2)\right\}*\mathds{1}_{(1,2]}(r)$
[/mm]
Hierbei ist [mm] $\gamma$ [/mm] stetig - insbesondere in [mm] $r=1\,.$
[/mm]
Also ist der Polygonzug
[mm] $\tau:=\gamma([0,2])$
[/mm]
eine Kurve (ein Bogen).
P.P.S. [mm] $\mathds{1}_{|I}$ [/mm] ist die Indikatorfunktion auf dem Intervall $I\,$.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
man o man... ich habe echt schludrig formuliert!!! Danke, dass Du dir dennoch die Mühe gemacht hast, zu verstehen, was ich denn überhaupt meine :D
Auf
Bild
ist zunächst einmal ein Bild in [mm] \IR^2
[/mm]
Du hast natürlich recht: Der Polygonzug ist nicht überall differenzierbar, sollte es heißen! Da ich aber an einer differenzierbaren Funktion interessiert bin, wollte ich den Polygonzug "abrunden" (also ist es kein Polygonzug mehr, siehe Bild).
Stellt man sich nun diese Konstruktion im [mm] \IR^3 [/mm] vor, so tangieren die geraden Stücke nicht mehr nur Kreise, sondern Kugeln. Dementsprechend verläuft die "Biegung" auf der Oberfläche der Kugel. Und genau die Beschreibung der Biegungen fällt mir schwer.
Mit benachbart meine ich: [mm] $x_i$ [/mm] hat die Nachbarn [mm] $x_{i-1}$ [/mm] und [mm] $x_{i+1}$ [/mm] wobei $i [mm] \in \{1,\dots,k \}$ [/mm] und $k [mm] \in \IN$.
[/mm]
Hoffe, dass es nun klarer ist :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> man o man... ich habe echt schludrig formuliert!!! Danke,
> dass Du dir dennoch die Mühe gemacht hast, zu verstehen,
> was ich denn überhaupt meine :D
kein Problem.
> Auf
> Bild
>
> ist zunächst einmal ein Bild in [mm]\IR^2[/mm]
>
> Du hast natürlich recht: Der Polygonzug ist nicht überall
> differenzierbar, sollte es heißen! Da ich aber an einer
> differenzierbaren Funktion interessiert bin, wollte ich den
> Polygonzug "abrunden" (also ist es kein Polygonzug mehr,
> siehe Bild).
>
> Stellt man sich nun diese Konstruktion im [mm]\IR^3[/mm] vor, so
> tangieren die geraden Stücke nicht mehr nur Kreise,
> sondern Kugeln. Dementsprechend verläuft die "Biegung" auf
> der Oberfläche der Kugel. Und genau die Beschreibung der
> Biegungen fällt mir schwer.
>
> Mit benachbart meine ich: [mm]x_i[/mm] hat die Nachbarn [mm]x_{i-1}[/mm] und
> [mm]x_{i+1}[/mm] wobei [mm]i \in \{1,\dots,k \}[/mm] und [mm]k \in \IN[/mm].
>
> Hoffe, dass es nun klarer ist :)
Ich habe gerade zu wenig Zeit. Bei Gelegenheit schaue ich mir das nochmal
an. Wird aber eventuell etwas dauern...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 So 23.03.2014 | | Autor: | hippias |
Du legst ja scheinbar keinen Wert darauf, dass die Punkte auf der Kurve liegen. Daher stelle ich mir etwa folgende Vorgehensweise vor:
1) Bilde den ueblichen Polygonzug [mm] $[x_{i}, x_{i+1}]$, $i=1,\ldots, [/mm] n-1$
2) In den von [mm] $x_{i}, x_{i+1},x_{i+2}$, $i=1,\ldots, [/mm] n-2$, aufgespannten affinen Ebenen konstruiere einen Kreis, der tangential zu den Geraden durch [mm] $x_{i+1}$ [/mm] und [mm] $x_{i}$ [/mm] bzw. durch [mm] $x_{i+1}$ [/mm] und [mm] $x_{i+2}$ [/mm] ist.
Wenn meine Anschauung mich nicht taeuscht, dann gibt es davon stets unendlich viele Kreise, deren Mittelpunkte auf der Winkelhalbierenden der beiden obigen Geraden liegen. Es sei denn die drei Punkte liegen bereits auf einer Geraden, aber dieser Fall wird dich vermutlich nicht stoeren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 23.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Sa 22.03.2014 | | Autor: | wieschoo |
> Daher möchte ich keinen Polygonzug betrachten,
> sondern die Komposition aus Kreissegmenten mit konstantem
> Radius [mm]R[/mm] und dazu tangierende Geraden.
Weil du es wirklich so haben möchtest? Was ist mit der kubische Spline-Interpolation (bicubic spline).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 So 23.03.2014 | | Autor: | MrMuffin |
Sorry, kubische Splines sind für mich keine Alternative. Ich möchte nur Geraden und Bögen mit konstanter Krümmung benutzen.
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