Polynome < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:00 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Mikke |
Hallo zusammen! und zwar komme ich bei folgender aufgabe kein stück weiter und finde keinen zugang...
also f [mm] \in [/mm] End(V) mit [mm] f^{k}=0 [/mm] für ein [mm] k\in \IN, [/mm] k [mm] \ge1. [/mm] soweit die vorraussetzungen. meine frage jetzt:
Für welche Polynome P(X)= [mm] \summe_{i=0}^{k} a_{i} X^{i} \in [/mm] K[X]
ist der Endomorphismus [mm] P(f):=\summe_{i=0}^{k} a_{i} f^{i} \in [/mm] End(V) ein Isomorphismus?
hoffe ihr könnt mir hierbei helfen.
MfG mikke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo mikke!
> Hallo zusammen! und zwar komme ich bei folgender aufgabe
> kein stück weiter und finde keinen zugang...
> also f [mm]\in[/mm] End(V) mit [mm]f^{k}=0[/mm] für ein [mm]k\in \IN,[/mm] k [mm]\ge1.[/mm]
> soweit die vorraussetzungen. meine frage jetzt:
> Für welche Polynome P(X)= [mm]\summe_{i=0}^{k} a_{i} X^{i} \in[/mm]
> K[X]
> ist der Endomorphismus [mm]P(f):=\summe_{i=0}^{k} a_{i} f^{i} \in[/mm]
> End(V) ein Isomorphismus?
> hoffe ihr könnt mir hierbei helfen.
Die Eigenwerte von $P(f)$ sind gerade [mm] $\sigma(P(f)) [/mm] = [mm] \{ P(\lambda) \mid \lambda \in \sigma(f) \}$, [/mm] wobei [mm] $\sigma(f)$ [/mm] die Eigenwerte von $f$ sind. (Das musst du nachrechnen.) Und jetzt ueberleg mal, was die Eigenschaft 'invertierbar sein' mit den Eigenwerten zu tun hat...
(Es sind natuerlich alle Eigenwerte gemeint, also auch die die nicht in $K$ liegen.)
LG Felix
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