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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Sitz grad bei einer Aufgabe wo ich nicht mal die Angabe versteh. Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen.
Sei V = [mm] P_{n}(\IR) [/mm] und für 0 <= i <= n sei
[mm] d_{i}: [/mm] V -> [mm] \IR, [/mm] p -> [mm] p^{(i)}(0)
[/mm]
das lineare Funktional, welches für eine Polynomfkt. p die i-te Ableitung
[mm] p^{(i)} [/mm] von p an der Stelle 0 auswertet.
Zeigen Sie, [mm] dass(d_{i})_{(0<=i<=n)} [/mm] eine Basis von V* bildet.
Was ich jetzt nicht versteh ist diese Polynomfkt. welche ja offensichtlich
in die reellen Zahlen übergeht. Was bedeutet" eine Polynomfkt. p die i-te Ableitung
[mm] p^{(i)} [/mm] von p an der Stelle 0 auswertet."? Kenn mich beim Differenzieren
eigentlich nicht aus also wäre eine "Dummy" Erklärung hilfreich.
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Halli hallo,
> Was bedeutet" eine
> Polynomfkt. p die i-te Ableitung
> [mm]p^{(i)}[/mm] von p an der Stelle 0 auswertet."?
Also ich werds versuchen, Dummy-mäßig zu erklären (wenns nicht klappt einfach nochmal fragen  )
Du hast ein Polynom n-ten Grades, das hat also die allgemeine Form
[mm] p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_2x^2+a_1x+a_0
[/mm]
Dieses Polynom kannst du nun einmal nach x ableiten (also die erste Ableitung bilden):
[mm] p^{(1)}(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+.....+2a_2x+a_1
[/mm]
Dieses Polynom kannst du wieder nach x ableiten und erhälst die zweite Ableitung von p(x), also
[mm] p^{(2)}(x)=n*(n-1)a_{n}x^{n-2}+(n-1)*(n-2)a_{n-1}x^{n-3}+....+2a_2
[/mm]
Und so kannst du das nun fortführen, bis alle in alle Ewigkeit! Natürlich macht es irgendwann keinen Sinn mehr abzuleiten, da du bei der (n+1)-ten Ableitung nur noch 0 erhälst!
So, den ganzen Kladderadatsch nun noch an einem Beispiel: n=3
[mm] p(x)=3x^3+4x^2-7x+1
[/mm]
Die erste Ableitung lautet:
[mm] p^{(1)}(x)=9x^2+8x-7
[/mm]
Die zweite Ableitung lautet:
[mm] p^{(2)}(x)=18x+8
[/mm]
Die dritte Ableitung lautet:
[mm] p^{(3)}(x)=18
[/mm]
Die vierte Ableitung (und nun sind wir bei n+1, nämlich 3+1=4 angelangt) ist:
[mm] p^{(4)}(x)=0
[/mm]
Die Ableitungen ab der vierten brauchst du allerdings nicht, da dass i ja zwischen 0 und n liegen sollte.
Nun zur Auswertung an der Stelle x=0. Auswerten bedeutet einfach nur den Funktionswert an dieser Stelle bestimmen. Denn jede Ableitung ist ja weiterhin eine Funktion die von x abhängt.
An unserem Beispiel also:
[mm] p^{(1)}(0)=9*0^2+8*0-7=-7
[/mm]
[mm] p^{(2)}(0)=18*0+8=8
[/mm]
[mm] p^{(3)}(0)=18
[/mm]
Also ich hoffe ich habe dir deine Frage gut beantworten können!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Danke für die gute Erklärung...jetzt check ich zummindestens mal die Angabe :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Bei diesem Bsp. muss ich also zeigen dass [mm] (d_{i}) [/mm] eine duale Basis von V*
ist.
Definition der dualen Basis: [mm] d_{i}(b_{j}) [/mm] = [mm] Kroneckersymbol_{ij}
[/mm]
Ich hab mir jetzt überlegt dass ich also eine Basis [mm] b_{j} [/mm] von V brauche um in die Definition einsetzen zu können. Sonst hab ich bei dem Bsp. irgendwie keinen Ansatz wie ich das zeigen soll. Kann mir wer einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Fr 18.03.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Reaper!
Kleiner Tipp für deine Basis:
Überleg dir mal, was mit der kanonischen Basis von V passiert wenn man die [mm]d_i[/mm] darauf anwendet. Dann musst du nicht mehr viel ändern...
Hoffe das hilft dir, wenn nicht meld dich nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo was mir nicht ganz kalr ist was die kanonische Basis einer Polynomfkt. ist
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Hallo.
Naja, was muß denn eine Basis leisten?
Eine Basis muß einerseits ein Erzeugendensystem sein, das heißt, jedes Polynom in unserem Falle muß sich schreiben lassen als eine Linearkombination von ...
Zum anderen muß eine Basis linear unabhängig sein, das heißt, man darf die 0 (in unsrem Fall die Nullfunktion) nur auf die triviale Weise erzeugen können.
Wenn man das mal genau durchdenkt, braucht man wenig Phantasie, um sich vorzustellen, was dann die kanonische Basis ist (analog zu Punkträumen)...
Gruß,
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Fr 18.03.2005 | | Autor: | taura |
Mh, ich denke ich schreib sie dir einfach mal hin, sich das selbst zu überlegen ist glaub ich ein bisschen vergebliche Liebesmüh.
Die kanonische Basis des Vektorraumes der Polynome vom Grad [mm]\le n[/mm] (bei dir: V) ist:
[mm]b_0=1[/mm]
[mm]b_1=x[/mm]
[mm]b_2=x^2[/mm]
[mm] \vdots[/mm]
[mm]b_n=x^n[/mm]
(der VR hat also dim=n+1)
So, erneuter Versuch! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Sa 19.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Ok also wenn ich jetzt die Basis in die Definition der dualen Basis herausbekomme ergibt sich jeweils immer ein Einser sonst lauter Nuller.
Also [mm] d_{0}(1) [/mm] = 1, [mm] d_{0}(x) [/mm] = 0,.........
[mm] d_{0}(x) [/mm] = 0, [mm] d_{1}(x) [/mm] = 1,.........
.
.
.
[mm] d_{0}(n) [/mm] = 0, [mm] d_{1}(n) [/mm] = [mm] 0,.........d_{n}(n) [/mm] = 1
Ist dass jetzt meine duale Basis?
PS. Wie kann man überprüfen ob die Basis des Vektorraumes der Polynome l.u. ist? und das bsp. gilt L(B) = V
L steht für lineare Hülle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Sa 19.03.2005 | | Autor: | taura |
> Hallo
> Ok also wenn ich jetzt die Basis in die Definition der
> dualen Basis herausbekomme ergibt sich jeweils immer ein
> Einser sonst lauter Nuller.
>
> Also [mm]d_{0}(1)[/mm] = 1, [mm]d_{0}(x)[/mm] = 0,.........
> [mm]d_{0}(x)[/mm] = 0, [mm]d_{1}(x)[/mm] = 1,.........
> .
> .
> .
> [mm]d_{0}(n)[/mm] = 0, [mm]d_{1}(n)[/mm] = [mm]0,.........d_{n}(n)[/mm] = 1
Das stimmt nicht ganz, denn was ist zum Beispiel die zweite Ableitung von [mm]x^2[/mm]? Und die dann an der Stelle 0 ausgewertet?
Genauso die dritte Ableitung von [mm]x^3[/mm]?
Du brauchst noch einen Vorfaktor, damit sich auch wirklich immer 1 ergibt.
> PS. Wie kann man überprüfen ob die Basis des Vektorraumes
> der Polynome l.u. ist? und das bsp. gilt L(B) = V
> L steht für lineare Hülle
>
Lineare Unabhängigkeit kannst du überprüfen indem du folgendes zeigst:
[mm]\alpha_1 b_1+...+\alpha_n b_n=0 \Rightarrow \alpha_1=...=\alpha_n=0[/mm]
Und das Erzeugendensystem ergibt sich ja schon durch die Definition der Polynome: eine beliebige Linearkombination der [mm]x^i[/mm] (daran ändert im übrigen ein Vorfaktor nichts)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Was.....ich versteh nur Bahnhof....
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Hallo.
Also deine kanonische Basis ist jetzt klar:
[mm] $B=\{1,x,x^2,...,x^n\}=\{x^j | j\in\{0,...,n\}\}$.
[/mm]
Jetzt mußt Du zeigen, daß diese linear unabhängig ist, das heißt, daß aus
[mm] $a_0*1+a_1*x^1+...+a_n*x^n=0$ [/mm] (für alle x) eben
[mm] $a_0=a_1=...=a_n=0$ [/mm] folgt.
Ein kleiner Tip, und damit hat sichs dann auch fast schon erledigt:
Aus der Forderung "für alle x" ergibt sich, daß Du o.B.d.A. [mm] $x\not=0$ [/mm] schreiben kannst.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo na ja OK wenn sich x != 0 ergibt dann ist klar dass das Ganze l.u. sein muss denn die Basen sind ja offensichtlich immer verschieden. (Haben da so einen Satz im Skript auf den ich verweisen kann)
Trotzdem weiß ich jetzt nicht weiter wie ich zeigen soll dass das lineare Funktional eine duale Basis bildet.....ich kann dass mit dem Vorfaktor irgendwie nicht nachvollziehen....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Di 29.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo.
> Trotzdem weiß ich jetzt nicht weiter wie ich zeigen soll
> dass das lineare Funktional eine duale Basis bildet.....ich
> kann dass mit dem Vorfaktor irgendwie nicht
> nachvollziehen....
Wenn Du die Basisvektoren ableitest, bekommst Du ja neue
Vektoren, sagen wir, es sind n Stueck.
Schreibst Du diese Vektoren in eine Matrix, so bilden die Vektoren
genau dann eine Basis des [mm]V^n[/mm], wenn Du durch
elementare Zeilenumformungen eine Einheitsmatrix daraus
erhalten kannst.
Die Matrix aus den Basisvektoren hat vollen Rang.
Jetzt gibt es da zwei sehr schoene Aussagen.
Zum einen ist das:
Sei [mm]B = B_1 ... B_n[/mm] eine Basis von [mm]V[/mm] und [mm]B^{\*} = (B^{\*}_1 ... B_n^{\*})[/mm]
eine Basis von [mm]V^{\*}[/mm] mit [mm]B^{\*}_i(B_j) = \delta_{ij}[/mm].
Fuer alle v [mm]\in V[/mm] gilt:
v = [mm]B^{\*}_1(v)B_1 + ... + B^{\*}_n(v)B_n[/mm]
Da aber B eine Basis ist und die Linearkombination von v in B somit
eindeutig ist, bedeutet das, dass die [mm]B^{\*}_i(v)[/mm] ebenfalls diese Eigenschaft
haben muessen, denn da steht ja nichts anderes.
So, das zum Vorstellen.
Was bedeutet es nun, wenn [mm]B^{\*}_i(B_j) = \delta_{ij}[/mm] gilt?
Anschauung: Wenn die Basisvektoren von [mm]V[/mm] Spalten sind,
dann sind die von [mm]V^{\*}[/mm] Zeilen.
Wenn das nicht so waere, dann waere (hoffentlich) klar, dass eine
Matrix aus den Basisvektoren von [mm]B[/mm] zu derjenigen der
Vektoren aus [mm]B^{\*}[/mm] invers sein muesste.
Da es aber so ist, muss man die invertierte Matrix noch transponieren
und hat dann in den Zeilen die Basisvektoren von [mm]V^{\*}[/mm]
stehen.
Man kann natuerlich auch erst transponieren und dann invertieren.
Etwas mathematischer ausgedrueckt bedeutet das:
[mm]\left^{C^{\*}}id^{B^{\*}}_{V^{\*}} = (\left^{B}id^{C}_{V})^{tr}{[/mm]
[mm]\left^{B^{\*}}id^{C^{\*}}_{V^{\*}} = ((\left^{B}id^{C}_{V})^{tr})^{-1}{[/mm]
Da sich aber durch das Transponieren dieser Matrix nichts daran
aendert, dass sie invertierbar ist, sollte der Rest nicht mehr schwer
sein.
Ich hoffe, das hilft.
Gruss,
Monika.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Do 31.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo, erstmals danke für die ausführliche Antwort die mich leider nur mehr verwirrt hat....denke dass ich da einfach noch zu wenig Background habe um bei deiner Erklärung mitzukommen....
Mir ist einfach nicht klar was ich überhaupt zeigen soll bei einer dualen Basis......soll ich zeigen dass die Basis linear unabhängig ist.....ich tappe da derzeit ein bißl im Dunkeln....versteh ja schon den Anfang deiner Erklärung nicht...warum soll ich die Basisvektoren noch mal ableiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Do 31.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo.
Verwirren wollte ich Dich natuerlich nicht, sorry.
Die Sachen haben es manchmal an sich, dass sie extrem
einfach sind, sobald man sie verstanden hat und es dann
schwer ist, zu sehen, wo jemand Probleme hat.
> denke dass ich da einfach
> noch zu wenig Background habe um bei deiner Erklärung
> mitzukommen....
Dualbasen kamen bei uns kamen ziemlich spaet in der
Vorlesung, wir hatten daher (offiziell) schon ziemlich
viel Background, ehe wir ueberhaupt damit konfrontiert
wurden.
> Mir ist einfach nicht klar was ich überhaupt zeigen soll
> bei einer dualen Basis......soll ich zeigen dass die Basis
> linear unabhängig ist.....
Das ist eine Basis per Definition.
Aber: Ja, Du sollst zeigen, dass das, was Du rausbekommst,
eine Basis ist, also linear unabhaengig.
> ich tappe da derzeit ein bißl im
> Dunkeln....versteh ja schon den Anfang deiner Erklärung
> nicht...warum soll ich die Basisvektoren noch mal ableiten?
Nicht nochmal, sondern ueberhaupt.
Ist ja die Aufgabe.
Sei V = [mm] P_{n}(\IR) [/mm] und für 0 <= i <= n sei
[mm] d_{i}: [/mm] V -> [mm] \IR, [/mm] p -> [mm] p^{(i)}(0) [/mm]
Machen wir doch mal etwas ganz Konkretes:
Sei [mm](1,x,x^2)[/mm] die Standardbasis (kanonische Basis)
von V.
Wir nehmen uns jetzt, wie ueblich, die Basisvektoren von V
und schauen, was mit denen passiert.
Im Index siehst Du jeweils den gerade aktuellen Basisvektor.
[mm]p_1 = 1[/mm]
[mm]p_1' = 0[/mm]
[mm]p_1'' = 0[/mm]
[mm]p_x=x[/mm]
[mm]p_x'=1[/mm]
[mm]p_x''=0[/mm]
[mm]p_{x^2}=x^2[/mm]
[mm]p_{x^2}'=2x[/mm]
[mm]p_{x^2}''=2[/mm]
Auswerten (wir wollen ja die Stelle 0 haben):
[mm]p_1(0) = 1[/mm]
[mm]p_1'(0) = 0[/mm]
[mm]p_1''(0) = 0[/mm]
[mm]p_x(0)=0[/mm]
[mm]p_x'(0)=1[/mm]
[mm]p_x''(0)=0[/mm]
[mm]p_{x^2}(0)=0[/mm]
[mm]p_{x^2}'(0)=0[/mm]
[mm]p_{x^2}''(0)=2[/mm]
Wir haben also drei Vektoren erhalten, die linear
unabhaengig sind.
Siehst Du jetzt, was taura mit dem Vorfaktor meinte?
Jetzt muss aber gelten:
[mm]d_i(b_j) = \delta_{ij}[/mm]
Kommst Du nun selbst weiter?
Gruss,
Monika.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:39 Fr 01.04.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo danke...kapier jetzt einiges mehr.
Irgendwie komm ich nicht ganz drauf wie der Vorfaktor lauten soll bzw. wo man ihn einsetzen soll. Eigentlich gelten doch nur die Vorraussetzung für das lineare Funktional wenn ich eine Polynomfkt. 1.Grades und 0.Grades vor mir habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Fr 01.04.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo.
Kannst Du Dein Problem bitte etwas wortreicher
schildern?
Es wird nicht ganz klar, was Du meinst.
Gruss,
Monika.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Fr 01.04.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo.....na ja mir ist halt der Verfaktor nicht klar den man braucht damit die Definition der dualen Basis stimmt. Denn wenn man die Basen des Vektorraums einfach so einsetzt dann bekommt man anscheinend nicht immer auf 0en und 1sen wies ja eigentlich in der Definition mit dem Kroneckersymbol sein würde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Fr 01.04.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo Reaper,
wenn Dir durch meine letzte Antwort etwas klarer
geworden ist, vielleicht kannst Du dann jetzt mehr
mit meiner vorletzten anfangen:
Diese hier meine ich.
Gruss,
Monika.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Fr 01.04.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Reaper!
Versuch dir doch mal zu überlegen, was für einen Vorfaktor du brauchst. Du musst schon selbst ein bisschen ausprobieren um drauf zu kommen. Rechne mal noch ein bisschen weiter, dann mekrst du vielleicht was da immer für Zahlen rauskommen und wie du erreichen kannst, dass stattdessen immer 1 rauskommt. Du musst einen Vorfaktor vor deine Basiselemente setzen, also vor [mm]1, x, x^2, x^3, ... , x^n[/mm] und der Vorfaktor hat was mit dem jeweiligen Exponenten zu tun...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Sa 02.04.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
..wollte nur mitteilen dass ich endlich den Vorfaktor gefunden habe....war nach deinem Tipp aber auch nicht mehr schwer.
Und zwar lautet die Basis mit dem Vorfaktor:
B = {1,x, [mm] \bruch{1}{2*1} [/mm] * x², [mm] \bruch{1}{3*2*1} [/mm] * [mm] x³,.....,\bruch{1}
[/mm]
{n*(n-1)*(n-2).....*1} [mm] *x^{n}}
[/mm]
So, jetzt wäre ja eigentlich gezeigt dass die Definition der dualen Basis hierbei gültig ist...reicht dass nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Reaper!
Ja, das ist richtig.
Offenbar ist [mm] $(\frac{x^i}{i!})_{i=0,1,\ldots,n}$ [/mm] eine Basis von [mm] $P_n(\IR)$ [/mm] (da [mm] $(x^i)_{i=0,1,\ldots,n}$ [/mm] eine solche ist), und es gilt für $i [mm] \le [/mm] j$ (und offenbar gilt [mm] $d_i(x^j)=0$ [/mm] für $i>j$):
[mm] $d_i\left(\frac{x^j}{j!} \right) [/mm] = [mm] \frac{i!x^{j-i}}{j!}\vert_{x=0}= \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & , & \mbox{wenn} \quad i=j,\\[5pt] 1 &, & \mbox{sonst}. \end{array} \right.$,
[/mm]
wobei ich hier [mm] $0^0:=1$ [/mm] definiere.
Damit ist alles gezeigt.
Viele Grüße
Julius
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