Potenzgesetze < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Mi 12.11.2014 | | Autor: | b.reis |
Hallo,
Beim wiederholen der Potenzgesetze und der ln-Funktion verstehe ich nicht alles und habe Fragen.
Bei der Potenzregel [mm] \bruch{1}{a^2} [/mm] =a^(-2)
Und bei der ln Funktion frage ich mich folgendes,
[mm] e^x=25
[/mm]
und [mm] e^x=2
[/mm]
wieso ist ln(25)+ln(2) das selbe wie ln(25*2)
Vielen Dank,
benni
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> Beim wiederholen der Potenzgesetze und der ln-Funktion
> verstehe ich nicht alles und habe Fragen.
>
> Bei der Potenzregel [mm]\bruch{1}{a^2}[/mm] =a^(-2)
Hallo,
ja, es ist [mm] \bruch{1}{a^2}=a^{-2},
[/mm]
allgemein [mm] \bruch{1}{a^n}=a^{-n}.
[/mm]
Wolltest Du das wissen? Oder wolltest Du wissen, wieso [mm] \bruch{1}{a^2}=a^{-2}?
[/mm]
Du solltest die Potenzgesetze kennen: [mm] a^n*a^m=a^{n+m},
[/mm]
[mm] a^n:a^m=a^{n-m}.
[/mm]
Nun ist [mm] \bruch{1}{a^2}=\bruch{a^3}{a^5}=a^3:a^5=a^{3-5}=a^{-2}.
[/mm]
>
> Und bei der ln Funktion frage ich mich folgendes,
> [mm]e^x=25[/mm]
> und [mm]e^y=2[/mm].
Also ist x=ln(25) und y=ln(2).
>
> wieso ist ln(25)+ln(2) das selbe wie ln(25*2)
Gucken wir zunächst, was es mit ln(25*2) auf sich hat:
[mm] e^z=25*2, [/mm] also ist z=ln(25*2).
Nun schauen wir mal nach:
[mm] e^{ln(25)+ln(2)}=e^{x+y}= e^x*e^y=25*2=e^z=e^{ln(25*2)},
[/mm]
also ist ln(25)+ln(2)=ln(25*2).
LG Angela
>
> Vielen Dank,
>
> benni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Mi 12.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > Beim wiederholen der Potenzgesetze und der ln-Funktion
> > verstehe ich nicht alles und habe Fragen.
> >
> > Bei der Potenzregel [mm]\bruch{1}{a^2}[/mm] =a^(-2)
>
> Hallo,
>
> ja, es ist [mm]\bruch{1}{a^2}=a^{-2},[/mm]
> allgemein [mm]\bruch{1}{a^n}=a^{-n}.[/mm]
>
> Wolltest Du das wissen? Oder wolltest Du wissen, wieso
> [mm]\bruch{1}{a^2}=a^{-2}?[/mm]
>
> Du solltest die Potenzgesetze kennen: [mm]a^n*a^m=a^{n+m},[/mm]
> [mm]a^n:a^m=a^{n-m}.[/mm]
>
> Nun ist
> [mm]\bruch{1}{a^2}=\bruch{a^3}{a^5}=a^3:a^5=a^{3-5}=a^{-2}.[/mm]
>
> >
> > Und bei der ln Funktion frage ich mich folgendes,
> > [mm]e^x=25[/mm]
> > und [mm]e^y=2[/mm].
>
> Also ist x=ln(25) und y=ln(2).
> >
> > wieso ist ln(25)+ln(2) das selbe wie ln(25*2)
>
> Gucken wir zunächst, was es mit ln(25*2) auf sich hat:
>
> [mm]e^z=25*2,[/mm] also ist z=ln(25*2).
>
> Nun schauen wir mal nach:
>
> [mm]e^{ln(25)+ln(2)}=e^{x+y}= e^x*e^y=25*2=e^z=e^{ln(25*2)},[/mm]
>
> also ist ln(25)+ln(2)=ln(25*2).
nur zur Ergänzung: wegen der Injektivität der e-Funktion, oder, weil
[mm] $\Rightarrow$ $e^{\ln(25)+\ln(2)-\ln(25*2)}=1$
[/mm]
und [mm] $e^x=1$ [/mm] genau für $x=0$ gilt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mi 12.11.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Benni!
> wieso ist ln(25)+ln(2) das selbe wie ln(25*2)
Hier kommt ein  Logarithmusgesetz zum Tragen mit:
[mm] $\log_b(x*y) [/mm] \ = \ [mm] \log_b(x)+\log_b(y)$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo benni
> Beim Wiederholen der Potenzgesetze und der ln-Funktion
> verstehe ich nicht alles und habe Fragen.
>
> Bei der Potenzregel [mm] $\bruch{1}{a^2}\ [/mm] =\ [mm] a^{-2}$
[/mm]
Ich interpretiere dein Anliegen so: warum definiert man
$\ [mm] a^{-n}\ :=\frac{1}{a^n}$ [/mm] (***)
Da nehme ich an, dass du mit der Definition von [mm] a^n [/mm] für
positive ganzzahlige n keine Schwierigkeiten hast und also
verstehst, dass es sinnvoll ist, etwa die Abkürzungen
$\ [mm] a^2\ [/mm] =\ a*a\ [mm] ,\quad a^3\ [/mm] =\ a*a*a\ [mm] ,\quad a^4\ [/mm] =\ a*a*a*a\ [mm] ,\,.....\ [/mm] etc.$
zu verwenden. Nun machen wir es noch ein bisschen
spezieller, indem wir zum Beispiel a:=3 setzen. Nun
möchte ich dich bitten, die folgende Sequenz von
Gleichungen auf "möglichst sinnvolle" Weise nach
unten fortzusetzen:
$\ [mm] 3^5\ [/mm] =\ 243$
$\ [mm] 3^4\ [/mm] =\ 81$
$\ [mm] 3^3\ [/mm] =\ 27$
$\ [mm] 3^2\ [/mm] =\ .....$
$\ [mm] 3^1\ [/mm] =\ .....$
$\ [mm] 3^0\ [/mm] =\ .....$
$\ [mm] 3^{-1}\ [/mm] =\ .....$
$\ [mm] 3^{-2}\ [/mm] =\ .....$
$\ [mm] 3^{-3}\ [/mm] =\ .....$
$\ [mm] 3^{-4}\ [/mm] =\ .....$
$\ [mm] 3^{-5}\ [/mm] =\ .....$
Auf der linken Seite steht jeweils eine Potenz der Basis 3.
Von Zeile zu Zeile wird der Exponent um 1 verkleinert.
Nun schau dir die Zahlenwerte auf der rechten Seite an:
Was muss ich mit einer dieser Zahlen machen, um die
nächste (also in der nächsten Zeile darunter stehende)
Zahl zu erhalten?
Wenn du die letztere Idee konsequent bis unten durchführst,
dürfte bei dir irgendwo ein Lichtlein aufblinken, das dir
zeigt, weshalb die obige Definition (***) sinnvoll sein
könnte ...
> Und bei der ln Funktion frage ich mich folgendes,
> [mm]e^x=25[/mm]
> und [mm]e^x=2[/mm]
>
> wieso ist ln(25)+ln(2) das selbe wie ln(25*2)
Das solltest du etwas anders notieren:
Wenn [mm] e^x [/mm] = 25 und [mm] e^y [/mm] = 2 ist, dann muss gelten:
$\ [mm] e^x [/mm] * [mm] e^y\ [/mm] =\ [mm] e^{x+y}$ [/mm] (warum)
und $\ [mm] e^x [/mm] * [mm] e^y\ [/mm] =\ 25*2\ =\ 50$
also $\ [mm] e^{x+y}\ [/mm] =\ 50$
Daraus kann man schließen (ich nehme mal an, dass
du die Definition von ln(x) für eine positive Zahl x
schon kennst !), dass ln(25)+ln(2) = ln(50) ist.
Allgemeiner:
$\ ln(a)\ +\ ln(b)\ =\ ln(a*b)$
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Mi 12.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo benni
>
> > Beim Wiederholen der Potenzgesetze und der ln-Funktion
> > verstehe ich nicht alles und habe Fragen.
> >
> > Bei der Potenzregel [mm]\bruch{1}{a^2}\ =\ a^{-2}[/mm]
>
>
> Ich interpretiere dein Anliegen so: warum definiert man
>
> [mm]\ a^{-n}\ :=\frac{1}{a^n}[/mm] (***)
>
> Da nehme ich an, dass du mit der Definition von [mm]a^n[/mm] für
> positive ganzzahlige n keine Schwierigkeiten hast und
> also
> verstehst, dass es sinnvoll ist, etwa die Abkürzungen
>
> [mm]\ a^2\ =\ a*a\ ,\quad a^3\ =\ a*a*a\ ,\quad a^4\ =\ a*a*a*a\ ,\,.....\ etc.[/mm]
>
> zu verwenden. Nun machen wir es noch ein bisschen
> spezieller, indem wir zum Beispiel a:=3 setzen. Nun
> möchte ich dich bitten, die folgende Sequenz von
> Gleichungen auf "möglichst sinnvolle" Weise nach
> unten fortzusetzen:
>
> [mm]\ 3^5\ =\ 243[/mm]
>
> [mm]\ 3^4\ =\ 81[/mm]
>
> [mm]\ 3^3\ =\ 27[/mm]
>
> [mm]\ 3^2\ =\ .....[/mm]
>
> [mm]\ 3^1\ =\ .....[/mm]
>
> [mm]\ 3^0\ =\ .....[/mm]
>
> [mm]\ 3^{-1}\ =\ .....[/mm]
>
> [mm]\ 3^{-2}\ =\ .....[/mm]
>
> [mm]\ 3^{-3}\ =\ .....[/mm]
>
> [mm]\ 3^{-4}\ =\ .....[/mm]
>
> [mm]\ 3^{-5}\ =\ .....[/mm]
>
> Auf der linken Seite steht jeweils eine Potenz der Basis
> 3.
> Von Zeile zu Zeile wird der Exponent um 1 verkleinert.
>
> Nun schau dir die Zahlenwerte auf der rechten Seite an:
> Was muss ich mit einer dieser Zahlen machen, um die
> nächste (also in der nächsten Zeile darunter stehende)
> Zahl zu erhalten?
> Wenn du die letztere Idee konsequent bis unten
> durchführst,
> dürfte bei dir irgendwo ein Lichtlein aufblinken, das
> dir
> zeigt, weshalb die obige Definition (***) sinnvoll sein
> könnte ...
man kann das auch so motivieren: Für $m,n [mm] \in \IN_0$ [/mm] ist das Gesetz
[mm] $a^{m+n}=a^m*a^n$
[/mm]
bekannt.
Wenn wir für $m [mm] \in \IN_0$
[/mm]
[mm] $1=a^0=a^{m+(-m)}=a^m*a^{-m}$
[/mm]
benutzen dürfen wollen, ist
[mm] $a^{-m}=1/a^m$
[/mm]
zu definieren...
(Ja: Auch wenn [mm] $0^0:=1\,,$ [/mm] sollte man oben natürlich $a [mm] \not=0$ [/mm] fordern, denn
sowas wie [mm] $0^{-2}=1/0^2$ [/mm] ist nicht sinnvoll...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
